2024年4月19日发(作者：)

2023-2024学年上海市高一下册4月月考数学试题

一、填空题

1．若

sin

5

,

是第一象限角，则

tan

__.

13

【正确答案】

5

12

5

,

是第一象限角，

13

【分析】根据同角三角函数关系求解

.

【详解】因为

sin

所以

cos

故答案为:

12sin

5

,tan



.

13cos

12

5

.

12

2

．函数

ysin2x

的最小正周期为

_____________

【正确答案】

【详解】函数

ysin2x

的最小正周期为

T

故答案为

2

2

3．已知

|a|1,|b|2,

a

与

b

的夹角为，则

a

在

b

方向上的投影向量为__.

4

1

r

【正确答案】

b

2

【分析】由向量投影的定义即可求得则

a

在

b

方向上的投影向量

.

b

1

【详解】

a

在

b

方向上的投影向量为

|

a

|cos

b

.

4

|

b

|

2

1

故

b

2

4．已知扇形的圆心角为

【正确答案】

6

，半径为6，则扇形的面积为__________．

3

【分析】根据扇形的面积公式直接求解

.

1

2

1

2

【详解】

S

r



6

6

，

223

故答案为

.

6

5．若

sin

cos

1

，则

sin2

________．

5

【正确答案】

24

25

1

两边平方，结合二倍角公式计算可得；

5

【分析】直接将

sin

cos

【详解】解：因为

sin

cos

sin

2

+2sin

cos

cos

2

1

1

2

，所以

sin

cos

，即

5

25

11

24

，即

1+sin2

，所以

sin2



2525

25

故

24

25

π



6．函数

y

sin

x

，

x

0,2π

，则严格单调递减区间是__.

6



2π5π

【正确答案】

,

33

【分析】由

0≤x≤2π

可求得

x

递减区间

.

【详解】由

0≤x≤2π

可得

2π5π

ππ11πππ3π

x

x

，由

x

可得，

33

666262

π

的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得原函数的

6

π

2π5π

所以，函数

y

sin

x

，

x

0,2π

的严格单调递减区间为

,

.

6

33

2π5π

故答案为.

,

33



7．已知

(ab)b7

，且

|a|3,|b|2

，则

a

与

b

夹角为___________.

【正确答案】



【分析】由条件算出

ab

，然后可求出答案

.





2



【详解】因为

(ab)b7

，所以

abb7

，因为

|b|2

，所以

ab743

6





a

b

所以

cos

a

,

b



a

b

33

，

2

3

2



a

因为

,b

0,

，所以

a

与

b

夹角为

6

故

6

sin

cos

__.

sin

cos

8．

tan

3

，则

1

【正确答案】

2

##

0.5

【分析】弦化切求解

.

【详解】

故

2

1

sin

cos

tan

11



.

sin

cos

tan

12

9

．已知角

的顶点在坐标原点，始边与

x

轴的正半轴重合，若角

的终边落在第三象限内，

π

3

且

cos

，则

cos2

__.

2

5

【正确答案】

7

##

0.28

25

【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解

.

π3

3

3

【详解】由

cos(

)

，得

sin

，即

sin



.

25

5

5

3

2

7

2

所以

cos2

1

2sin

1

2

(

)

.

525

故答案为:

7

.

25

10．在

ABC

中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且

4S(ab)

2

c

2

，则

cosC

______

．

【正确答案】

0

【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将

4S(ab)

2

c

2

化为

2absinC2abcosC2ab

，

进而可求出结果

.

【详解】因为

S

1

ab

sinC

，余弦定理

c

2

a

2

b

2

2abcosC

，又

4S(ab)

2

c

2

，

2



所以有

2absinC2abcosC2ab

，即

sinCcosC1

，所以

2sin

C

1

，

4





3

2

k

k

Z

，所以

C2

k

或

C

2k

kZ

，因此

C2

k

或

C



4444

2

因为C三角形内角，所以

C

故答案为

0

本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型

.

11

．函数

yf(x)Asin(

x

)(

0,π

0)

的图象与

x

轴相交的相邻两点

π2π

π

B

(,0),

C

(,0)

，又过点

D

,1

，则

f(x)

__.

63

4

π



【正确答案】

2sin

2

x

3



2

，故

cosC0

.

【分析】根据三角函数的图象性质求解即可

.

【详解】由题意得

T

2ππ

2π



，所以

T



π

，所以

2

，

236

ππ

π



π

又过点

B

,0

，

D

,1

，所以

A

sin(

)

0,

A

sin(

)

1

，

32

6



4

又

π

0

，解得

A

2,



π



故答案为:

2sin

2

x

.

3



π

π

，所以

f

(

x

)

2sin(2

x

)

.

3

3

12．在边长为

1

的正六边形

ABCDEF

中，记以

A

为起点，其余顶点为终点的向量分别为

a

1

，















a

2

，

a

3

，

a

4

，

a

5

，若

a

i

与

a

j

的夹角记为

ij

，其中

i,j

1,2,3,4,5

，且

ij

，则

a

i

cos

ij

的



最大值为

()

．

【正确答案】

3





a

aa

【分析】由向量的投影的几何意义有：|

i

|cosθij的几何意义为向量

i

在向量

j

方向上的投





影，由图可知：在直角三角形

AED

中，向量

AD

在向量

AE

方向上的投影最大，即可得解．

【详解】由向量的投影的几何意义有：





|

a

i

|cosθij的几何意义为向量

a

i

在向量

a

j

方向上的投影，





由图可知：

AD

在向量

AE

方向上的投影最大，

此时三角形

AED

为直角三角形，其中

AD

与

AE

垂直，又正六边形边长为

1

，所以

AD=2,AE=

3

,





所以

AD

在向量

AE

方向上的投影为AE=

3

，

故答案为

3

．

本题考查了向量的投影的几何意义，属于中档题．

二、单选题

13

．已知函数

ysin(xa)

为偶函数，则

a

的最小正数值为（

A．

）

D．

π

6

B．

π

4

C．

π

3

π

2

【正确答案】

D

【分析】根据偶函数的性质以及三角恒等变换公式求解

.

【详解】因为函数

ysin(xa)

为偶函数，

所以

sin(xa)sin(xa)

，

则有

sinxcosacosxsinasinxcosacosxsina

，

即

sinxcosa0

，所以

cosa0

，

则有

a

故选

:D.

14．“

x

π

π

k

π,

k

Z

，所以

a

的最小正数值为，

2

2

k

k

Z

”是“

tanx1

”成立的（

4

）

A

．充分不必要条件

C

．充要条件

【正确答案】

C

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．

【详解】解：

tanx1

，

x

k

(

k

Z

)

4

x

k

4

(

k

Z

)

则

tanx1

，

根据充分必要条件定义可判断：

“

x

k

(

k

Z

)

”是“

tanx1

”成立的充要条件

4

故选：

C

．

π

π

15．函数

y

sin

2

x

的图象向右平移个单位后与函数

f(x)

的图象重合，则下列结论中

3

3

正确的是（）

7π

对称；

12

①

f(x)

的一个周期为

2π

；②

f(x)

的图象关于

x

③

x

7π

π5π

是

f(x)

的一个零点；④

f(x)

在

,

单调递减.

6

1212

A

．①②③

【正确答案】

A

B

．①②④

C

．①③④

D

．②③④