2024年5月30日发(作者：)

圆柱体转动惯量推导

圆柱体是常见的几何体，具有旋转的特性，转动惯量是描述物体

绕轴旋转惯性的物理量。对于一个圆柱体，它的转动惯量可用以下公

式进行推导。

首先用圆柱体的质量m，宽度d，高度h作为已知数，设圆柱体

的轴绕通过圆柱体底面圆心的水平轴线旋转，因此我们可以将圆柱体

分解成无数个圆片，即 dx 的高度、面积为 πr² 的圆环，圆环的质

量可以用比例来求出：

dm = m/πr² dx

圆柱体的转动惯量可分为两部分，分别是圆柱体沿轴线转动的转

动惯量和圆柱体绕过轴线的平面转动惯量。

先求圆柱体沿轴线转动的转动惯量，我们可以将圆柱体看做是无

数个圆环所组成，对每个圆环的转动惯量 dI 进行积分可得到整个圆

柱体的转动惯量 I。

dI = r²dm

dI = r²(m/πr²dx) = m(r²/π)dx

I = ∫₀^h m(r²/π)dx = m(r²/π)h

再求圆柱体绕过轴线的平面转动惯量，由于圆柱体的旋转轴为水

平轴，因此它在竖直方向上的转动惯量为0，所以可以将圆柱体沿垂直

于轴线的方向分成无数个薄片，每个薄片的质量为 dm，宽度为 d，距

离圆柱体底面为 y，相对于水平线的距离为 r，其转动惯量 dI 可由

以下公式求出：

dI = dm(r²-y²)

dm = m/πr²d dy

dI = (m/πr²d) (r²-y²)dy

I = ∫₀^h (m/πr²d) (r²-y²)dy = (m/12)(d²+r²)

根据平行轴定理，圆柱体绕过轴线的平面转动惯量需要加上圆柱

体质心相对于轴线的距离的平方和圆柱体质量乘以轴线距离质心距离

的平方两部分。圆柱体质心距离轴线的距离为 d/2，因此圆柱体绕过

轴线的总的转动惯量 Iyy 可以表示为：

Iyy = I + md²/4

Iyy = m(r²/π)h + md²/4 + (m/12)(d²+r²)

经过简化，最终推导出圆柱体的转动惯量公式为：

Iyy = m(d²/4+r²/2)

以上就是圆柱体转动惯量的推导过程，其中需要注意单位的转换，

如长度单位要保持一致等。