2024年6月2日发(作者：)

高斯（核）函数简介

1函数的基本概念

所谓径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函

数。 通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数 , 可记作

k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数

是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为

函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性

质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实

际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一

般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比

另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏

向任一方向．

（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的

像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要

的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大

作用，则平滑运算会使图像失真．

（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立

叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和

细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数

付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所

需信号．

（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是

非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数

σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望

突变量(欠平滑)之间取得折衷．

（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷

积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直

的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不

是成平方增长．

2函数的表达式和图形

在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。可以参看相关的书籍，仅给出matlab

绘图的代码

alf=3;

n=7;%定义模板大小

n1=floor((n+1)/2);%确定中心