2024年6月3日发(作者：)
余弦定理练习题
宇文皓月
1
1．在△
ABC
中，如果
BC
＝6，
AB
＝4，cos
B
＝，那么
AC
等于()
3
A．6B．26C．36D．46
2．在△
ABC
中，
a
＝2，
b
＝3－1，
C
＝30°，则
c
等于()
A.3 B.2C.5 D．2
222
3．在△
ABC
中，
a
＝
b
＋
c
＋3
bc
，则∠
A
等于()
A．60° B．45°C．120° D．150°
222
4．在△
ABC
中，∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，若(
a
＋
c
－
b
)tan
B
＝3
ac
，
则∠
B
的值为()
πππ5ππ2π
A.B.C.或D.或
636633
5．在△
ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是
A
、
B
、
C
的对边，则
a
cos
B
＋
b
cos
A
等于()
A．
a
B．
b
C．
c
D．以上均分歧错误
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
8．在△
ABC
中，
b
＝3，
c
＝3，
B
＝30°，则
a
为()
A.3B．23C.3或23D．2
9．已知△
ABC
的三个内角满足2
B
＝
A
＋
C
，且
AB
＝1，
BC
＝4，则边
BC
上的中线
AD
的
长为________．
10．△
ABC
中，sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
11．已知
a
、
b
、
c
是△
ABC
的三边，
S
是△
ABC
的面积，若
a
＝4，
b
＝5，
S
＝53，则
边
c
的值为________．
12．在△
ABC
中，sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝2∶3∶4，则cos
A
∶cos
B
∶cos
C
＝
________.
1
13．在△
ABC
中，
a
＝32，cos
C
＝，
S
△
ABC
＝43，则
b
＝________.
3
a2＋b2－c2
15．已知△
ABC
的三边长分别是
a
、
b
、
c
，且面积
S
＝，则角
C
＝________.
4
16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为
________．
2
17．在△
ABC
中，
BC
＝
a
，
AC
＝
b
，
a
，
b
是方程
x
－23
x
＋2＝0的两根，且2cos(
A
＋
B
)
＝1，求
AB
的长．
18．已知△
ABC
的周长为2＋1，且sin
A
＋sin
B
＝2sin
C
.(1)求边
AB
的长；(2)
1
若△
ABC
的面积为sin
C
，求角
C
的度数．
6
π
19．在△
ABC
中，
BC
＝5，
AC
＝3，sin
C
＝2sin
A
.(1)求
AB
的值；(2)求sin(2
A
－)
4
的值．
20．在△
ABC
中，已知(
a
＋
b
＋
c
)(
a
＋
b
－
c
)＝3
ab
，且2cos
A
sin
B
＝sin
C
，确定△
ABC
的形状．
余弦定理答案
1
1．在△
ABC
中，如果
BC
＝6，
AB
＝4，cos
B
＝，那么
AC
等于(A)A．6B．26
3
C．36D．46
2．在△
ABC
中，
a
＝2，
b
＝3－1，
C
＝30°，则
c
等于(B)A.3B.2C.5D．2
222
3．在△
ABC
中，
a
＝
b
＋
c
＋3
bc
，则∠
A
等于(D)A．60° B．45°C．120°
D．150°
222
4．在△
ABC
中，∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，若(
a
＋
c
－
b
)tan
B
＝3
ac
，则∠
B
的值为(D)
πππ5ππ2π
A. B.C.或D.或
636633
解析：选D.由(
a
＋
c
－
b
)tan
B
＝3
ac
，联想到余弦定理，代入得
a2＋c2－b2313cosBπ3
cos
B
＝＝·＝·.显然∠
B
≠，∴sin
B
＝.∴∠
B
＝
2ac2tanB2sinB22
π2π
或.
33
5．在△
ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是
A
、
B
、
C
的对边，则
a
cos
B
＋
b
cos
A
等于(C)
A．
a
B．
B
C．
c
D．以上均分歧错误
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定
222
解析：选A.设三边长分别为
a
，
b
，
c
且
a
＋
b
＝
c
.设增加的长度为
m
，则
c
＋
m
＞
a
＋
m
，
c
＋
m
＞
b
＋
m
，
22222222
又(
a
＋
m
)＋(
b
＋
m
)＝
a
＋
b
＋2(
a
＋
b
)
m
＋2
m
＞
c
＋2
cm
＋
m
＝(
c
＋
m
)，
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
8．在△
ABC
中，
b
＝3，
c
＝3，
B
＝30°，则
a
为()
A.3B．23C.3或23D．2
2222
解析：选C.在△
ABC
中，由余弦定理得
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
，即3＝
a
＋9－33
a
，
2
∴
a
－33
a
＋6＝0，解得
a
＝3或23.
9．已知△
ABC
的三个内角满足2
B
＝
A
＋
C
，且
AB
＝1，
BC
＝4，则边
BC
上的中线
AD
的长为________．
π
解析：∵2
B
＝
A
＋
C
，
A
＋
B
＋
C
＝π，∴
B
＝.
3
1
在△
ABD
中，
AD
＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×＝3.答案：
2
3
10．△
ABC
中，sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度
数．
222
解：∵sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴
a
∶
b
∶
c
＝(3－
1)∶(3＋1)∶10.
设
a
＝(3－1)
k
，
b
＝(3＋1)
k
，
c
＝10
k
(
k
＞0)，
a2＋b2－c21
∴
c
边最长，即角
C
最大．由余弦定理，得cos
C
＝＝－，又
2ab2
C
∈(0°，180°)，∴
C
＝120°.
11．已知
a
、
b
、
c
是△
ABC
的三边，
S
是△
ABC
的面积，若
a
＝4，
b
＝5，
S
＝
53，则边
c
的值为________．
131
22
解析：
S
＝
ab
sin
C
，sin
C
＝，∴
C
＝60°或120°.∴cos
C
＝±，又∵
c
＝
a
＋
222
b
2
－2
ab
cos
C
，
2
∴
c
＝21或61，∴
c
＝21或61.答案：21或61
12．在△
ABC
中，sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝2∶3∶4，则cos
A
∶cos
B
∶cos
C
＝
________.
解析：由正弦定理
a
∶
b
∶
c
＝sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝2∶3∶4，
a2＋c2－b2
设
a
＝2
k
(
k
＞0)，则
b
＝3
k
，
c
＝4
k
，cos
B
＝＝
2ac
222
2k＋4
k
－3
k
11
＝，
2×2
k
×4
k
16
71
同理可得：cos
A
＝，cos
C
＝－，∴cos
A
∶cos
B
∶cos
C
＝14∶11∶(－
84
4)．答案：14∶11∶(－4)
1
13．在△
ABC
中，
a
＝32，cos
C
＝，
S
△
ABC
＝43，则
b
＝________.
3
1221
解析：∵cos
C
＝，∴sin
C
＝.又
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝4
332
122
·
b
·32·＝43，∴
b
＝23.答案：23
23
15．已知△
ABC
的三边长分别是
a
、
b
、
c
，且面积
S
＝
________.
1a2＋b2－c2a2＋b2－c2ab1
解析：
ab
sin
C
＝
S
＝＝·＝
ab
cos
C
，∴sin
C
＝cos
C
，
242ab22
∴tan
C
＝1，∴
C
＝45°.答案：45°
16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为
________．
解析：设三边长为
k
－1，
k
，
k
＋1(
k
≥2，
k
∈N)，则
2
k2＋
k
－1－
k
＋
k
－1＞
k
＋1
3，即
a2＋b2－c2
，则角
C
＝
4
k
＋1
2
＜0
⇒2＜
k
＜4，
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