2024年6月3日发(作者：)

专题复习 解三角形与平面向量

1．三角形的有关公式：

(1)在△

ABC

中：sin(

A

＋

B

)＝ ，sin

A

＋

B

2

＝ (2)正弦定理：

(3)余弦定理：

_____________________________________________________________________

111

(4)面积公式：

S

＝

ah

a

＝

ab

sin

C

＝

r

(

a

＋

b

＋

c

)(其中

r

为三角形内切圆半径)．

222

2．平面向量的数量积

a

·

b

＝ ．特别地，

a

2

＝

a·a

＝

|a|

2

，

|a|

＝

a

2

.当

θ

为锐角时，

a

·

b

>0，且

a·b

>0是

θ

为

锐角的必要非充分条件；当

θ

为钝角时，

a·b

<0，且

a·b

<0是

θ

为钝角的必要非充分条件．

3．

b

在

a

上的射影为|

b

|cos_

θ

．

4．平面向量坐标运算

设

a

＝(

x

1

，

y

1

)，

b

＝(

x

2

，

y

2

)，且

a≠0

，

b≠0

，则：(1)

a·b

＝

；(2)|

a

|＝

，

a

2

＝|

a

|

2

＝

；

(3)

a

∥

b

⇔

a

＝

λb

⇔

＝0；(4)

a

⊥

b

⇔

a

·

b

＝0⇔|

a

＋

b

|＝|

a

－

b

|⇔

＝0.

(5)若

a

、

b

的夹角为

θ

，则cos

θ

＝

＝

．

11

5．△

ABC

中向量常用结论

→

＋

PB

→

＋

PC

→

＝0⇔

P

为△

ABC

的 ； (2)

PA

→

·

PB

→

＝

PB

→

·

PC

→

＝

PC

→

·

PA

→

⇔

P

为△

ABC

的 ；

(1)

PA

→→



ABAC

＋

(

λ

≠0)所在直线过△

ABC

的 ；(4)|

PA

→

|＝|

PB

→

|＝|

PC

→

|⇔

P

为△

ABC

的 ． (3)向量

λ

|

AB

→

||

AC

→

|



考点一 解三角形

ππ

例 1－1设△

ABC

的三个内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，若

b

＝2，

B

＝，

C

＝，则△

ABC

的

34

33

面积为( )A．1＋ ＋1 C．1－ －1

33

例 1－2△

ABC

中，已知3

b

＝23

a

sin

B

，角

A

，

B

，

C

成等差数列，则△

ABC

的形状为( )

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

例 1－3若△

ABC

的三个内角满足sin

A

∶sin

B

∶sin

C

＝5∶11∶13，则△

ABC

( )

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

3

变式训练【1－1】设△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

.若

a

＝2，

c

＝23，cos

A

＝，

2

22