2024年6月15日发(作者：)
3 截面的几何参数
序号 公式名称 公式 符号说明
（3.1） 截面形心位置 Z为水平方向
z
c
A
zdA
A
ydA
A
，
y
c
A
Y为竖直方向
（3.2） 截面形心位置
z
c
z
i
A
i
A
，
y
y
i
A
i
c
A
ii
（3.3） 面积矩
S
Z
ydA
，
S
y
zdA
AA
（3.4） 面积矩
S
z
A
i
y
i
，
S
y
A
i
z
i
（3.5） 截面形心位置
z
S
y
S
c
A
，
y
c
z
A
（3.6） 面积矩
S
y
Az
c
，
S
z
Ay
c
（3.7） 轴惯性矩
I
z
y
2
dA
，
I
y
z
2
dA
A
A
（3.8） 极惯必矩
I
2
dA
A
（3.9） 极惯必矩
I
I
z
I
y
（3.10） 惯性积
I
zy
zydA
A
（3.11） 轴惯性矩
I
2
2
z
i
z
A
，
I
y
i
y
A
（3.12） 惯性半径
I
（回转半径）
i
z
，
i
y
z
I
A
y
A
（3.13） 面积矩
S
z
S
zi
，
S
y
S
yi
轴惯性矩
极惯性矩
I
z
I
zi
，
I
y
I
yi
惯性积
I
I
i
，
I
zy
I
zyi
（3.14） 平行移轴公式
I
z
I
zc
a
2
A
I
y
I
yc
b
2
A
I
zy
I
zcyc
abA
1
4 应力和应变
序号
（4.1）
（4.2）
（4.3a）
（4.3b）
（4.4a）
（4.4ab
（4.5）
（4.6）
公式名称
轴心拉压杆横
截面上的应力
危险截面上危
险点上的应力
轴心拉压杆的
纵向线应变
轴心拉压杆的
纵向绝对应变
虎克定理
公式
N
A
N
max
A
l
l
符号说明
lll
1
.l
虎克定理
虎克定理
E
E
N.l
l
EA
Nl
l
i
l
i
i
i
EA
i
（4.7）
（4.8）
横向线应变
泊松比（横向
变形系数）
'
bb
1
b
bb
'
'
（4.9）
（4.10）
（4.11）
剪力双生互等
定理
剪切虎克定理
实心圆截面扭
转轴横截面上
的应力
实心圆截面扭
转轴横截面的
圆周上的应力
抗扭截面模量
（扭转抵抗矩）
实心圆截面扭
转轴横截面的
圆周上的应力
x
y
G
T
I
（4.12）
max
TR
I
（4.13）
W
T
I
R
（4.14）
max
T
W
T
2
（4.15） 圆截面扭转轴的
变形
圆截面扭转轴的
变形
单位长度的扭转
角
矩形截面扭转轴
长边中点上的剪
应力
T.l
GI
（4.16）
Tl
i
i
i
GI
i
T
，
l
GI
（4.17）
（4.18）
max
TT
3
W
T
b
W
T
是矩形截
面
W
T
的扭转抵
（4.19） 矩形截面扭转轴
短边中点上的剪
应力
矩形截面扭转轴
单位长度的扭转
角
抗矩
1
max
TT
4
GI
T
G
b
（4.20）
I
T
是矩形截
面的
I
T
相当极惯
性矩
（4.21） 矩形截面扭转轴
全轴的扭转
角
T.l
4
G
b
.l
,
,
与截
面高宽
比
h/b
有关
的参数
（4.22） 平面弯曲梁上任
一点上的线应变
平面弯曲梁上任
一点上的线应力
平面弯曲梁的曲
率
纯弯曲梁横截面
上任一点的正应
力
离中性轴最远的
截面边缘各点上
的最大正应力
y
（4.23）
1
Ey
（4.24）
M
EI
z
My
I
z
（4.25）
（4.26）
max
M.y
max
I
z
3
（4.27）
（4.28）
（4.29）
抗弯截面模量
（截面对弯曲
的抵抗矩）
离中性轴最远的
截面边缘各点上
的最大正应力
横力弯曲梁横截
面上的剪应力
W
z
I
y
max
max
M
W
z
*
VS
z
I
z
b
*
被切割面
S
z
（4.30） 中性轴各点的剪
应力
max
*
VS
zmax
I
z
b
积对中性轴
的
面积矩。
3V
矩形截面中性
max
轴各点的剪应力
2bh
（4.32） 工字形和T形截
**
S
z
A
i
*
y
ci
面的面积矩
（4.33） 平面弯曲梁的挠
"
EIv
z
M(x)
曲线近似微分方
程
（4.34） 平面弯曲梁的挠曲
EI
z
v
'
EI
z
M(x)dxC
线上任一截面
的转角方程
（4.35） 平面弯曲梁的挠曲
EI
z
v
M(x)dxdxCxD
线上任一点挠度方
程
（4.36） 双向弯曲梁的合成
2
MM
z
2
M
y
弯矩
2
（4.37a） 拉（压）弯组合矩形
i
y
截面的中性轴在Z轴
a
z
z
0
z
p
上的截距
（4.31）
V向下为正
X向右为正
z
p
,y
p
是集中
力作用点的
标
（4.37b） 拉（压）弯组合矩形
截面的中性轴在Y
轴上的截距
i
z
2
a
y
y
0
y
p
4
5 应力状态分析
序号
（5.1）
公式名称 公式
单元体上任
y
x
y
意
x
cos2
x
sin2
22
截面上的正
应力
单元体上任
y
意
x
sin2
x
cos2
2
截面上的剪
应力
主平面方位
2
x
（
0
与
x
反号
）
tan2
0
角
x
y
大主应力的
2
x
y
x
2
y
计算公式
max
x
2
2
主应力的计
2
x
y
x
y
2
算公式
max
x
2
2
3
单元体中的
max
1
最大剪应力
2
1
主单元体的
1
2
2
1
3
2
2
3
2
八面体面上
3
的剪应力
面上的线
y
x
y
xy
应变
x
cos2
sin2
222
符号说明
（5.2）
（5.3）
（5.4）
（5.5）
（5.6）
（5.7）
（5.8）
（5.9）
面与
xy
(
x
y
)sin2
xy
cos2
+
90
o
面之
间的角应变
（5.10）
主应变方向
公式
（5.11） 大主应变
xy
tan2
0
x
y
max
x
y
2
x
y
xy
2
4
x
y
xy
2
4
2
2
2
2
（5.12） 小主应变
max
x
y
2
5
（5.13）
xy
的替代公
xy
2
45
x
y
0
式
（5.14） 主应变方向
公式
（5.15） 大主应变
tan2
0
2
45
0
x
y
x
y
max
（5.16） 小主应变
x
y
2
x
45
0
2
y
45
0
2
2
2
2
2
（5.17） 简单应力状
态下的虎克
定理
（5.18） 空间应和状
态下的虎克
定理
x
45
0
y
45
0
max
222
x
x
，
y
x
，
z
x
EEE
x
y
x
y
z
（5.19） 平面应力状
态下的虎克
定理（应变形
式）
x
y
1
x
y
z
E
1
y
z
x
E
1
z
x
y
E
1
(
x
y
)
E
1
(
y
x
)
E
E
E
（5.20） 平面应力状
x
(
x
y
)
2
态下的虎克
1
E
定理（应力形
y
(
y
x
)
式）
1
2
z
(
x
y
)
z
0
（5.21） 按主应力、主
应变形式写
出广义虎克
定理
1
1
2
3
E
1
2
2
3
1
E
1
3
3
1
2
E
1
6
（5.22） 二向应力状
态的广义虎
克定理
1
(
1
2
)
E
1
2
(
2
1
)
E
1
E
E
（5.23） 二向应力状
1
(
1
2
)
2
态的广义虎
1
克定理
E
1
(
1
2
)
1
2
E
2
(
2
1
)
2
1
3
(
1
2
)
3
0
（5.24） 剪切虎克定
xy
G
xy
理
yz
G
yz
zx
G
zx
2 内力和内力图
序号 公式名称
（2.1a） 外力偶的
换算公式
（2.1b）
公式
T
e
9.55
N
k
n
符号说明
T
e
7.02
N
p
n
q(x)
向上
（2.2）
（2.3）
（2.4）
分布荷载集度
dV(x)
q(x)
剪力、弯矩之
dx
间的关系
dM(x)
V(x)
dx
d
2
M(x)
q(x)
2
dx
为正
7
6 强度计算
序号 公式公式
名称
符
号
说
明
时，材料发生脆性断裂破坏。
（6.1）
（6.2）
（6.3）
（6.4）
（6.5）
第一
强度
理
论：
最大
拉应
力理
论。
第二
强度
理
论：
最大
伸长
线应
变理
论。
第三
强度
理
论：
最大
剪应
力理
论。
第四
强度
理
论：
八面
体面
剪切
理
论。
第一
强度
理论
当
1
f
ut
(脆性材料
）
1
f.(塑性材料
）
*
u
当
1
(
2
3
)f
ut
(脆性材料
）
1
1
（
2
3
）
f(塑性材料
）
*
u
时，材料发生脆性断
裂破坏。
当
1
3
f
y
(塑性材料
）
1
3
f
uc
(脆性材料
）
时，材料发生剪切破坏。
当
1
1
2
2
1
3
2
2
3
2
f
y
(塑性材料
）
2
1
1
2
2
1
3
2
2
3
2
f
uc
(脆性材料
）
2
时，材料发生剪切破坏。
1
*
1
8
的相
当应
力
（6.6） 第二
强度
理论
的相
当应
力
（6.7） 第三
强度
理论
的相
当应
力
（6.8） 第四
强度
理论
的相
当应
力
（6.9a） 由强
度理
论建
立的
强度
条件
（6.9b） 由直
接试
（6.9c） 验建
立的
（6.9d） 强度
条件
（6.10a） 轴心
拉压
（6.10b） 杆的
强度
条件
*
2
1
（
2
3
）
*
3
1
3
*
4
1
1
2
2
1
3
2
2
3
2
2
*
[
]
tmax
[
t
]
cmax
[
c
]
max
[
]
tmax
N
[
t
]
A
cmax
N
A
[
c
]
9
（6.11a）
（6.11b）
（6.11c）
（6.11d）
由强
T
*
[
t
]
(适用于脆性材料)
度理
1
1
max
W
T
论建
立的
*
2
1
（
2
3
）
=
max
(0
max
)(1
)
max
[
t
]
扭转
轴的
T[
]
t
(适用于脆性材料)
强度
max
W
T
1
条件
*
3
1
3
max
max
2
max
[
]
max
T[
]
(适用于塑性材料)
W
T
2
*
4
1
1
2
2
1
3
2
2
3
2
2
1
max
0
2
0
max
2
max
max
2
2
3
max
[
]
max
（6.11e） 由扭
转试
验建
立的
强度
条件
（6.12a） 平面
弯曲
梁的
（6.12b） 正应
力强
度条
件
（6.13） 平面
弯曲
梁的
剪应
力强
度条
件
T[
]
(适用于塑性材料)
W
T
3
max
T
[
]
W
T
tmax
M
[
t
]
W
Z
cmax
M
W
Z
[
c
]
max
*
VS
Zmax
[
]
I
Z
b
10
（6.14a） 平面
*
3
2
4
2
[
]
弯曲
（6.14b） 梁的
*22
3
[
]
4
主应
力强
度条
件
（6.15a） 圆截
222
*
MMT
M
Zy
*
面弯
3
313
WW
扭组
（6.15a） 合变
1
222
*
4121323
形构
2
件的
222
*
相当
M
Z
M
y
0.75T
M
4
WW
弯矩
4N
（6.16） 螺栓
[
]
的抗
n
d
2
剪强
度条
件
（6.17） 螺栓
N
b
[
c
b
]
的抗
c
d
t
挤压
强度
条件
（6.18） 贴角
N
[
w
f
]
焊缝
0.7h
f
l
w
的剪
切强
度条
件
7 刚度校核
序号 公式名称
（7.1） 构件的刚度条件
（7.2） 扭转轴的刚度条件
公式
max
[]
l.l
符号说明
T
[
]
GI
max
v
（7.3） 平面弯曲梁的刚度条件
v
max
[]
ll
11
8 压杆稳定性校核
序号 公式名称 公式
（8.1） 两端铰支的、细
2
EI
长压杆
P
cr
2
l
的、临界力的欧
拉公式
（8.2） 细长压杆在不同
2
EI
P
cr
支承情
2
(
.l)
况下的临界力公
式
l
0
.l
符号说明
I取最小值
l
0
—计算长度。
—长度系数；
一端固定，一端自由：
2
一端固定，一端铰支：
0.7
两端固定：
0.5
（8.3） 压杆的柔度
.l
i
i
I
是截面的惯性
A
（8.4） 压杆的临界应力
cu
P
cr
A
半径
（回转半径）
cu
（8.5） 欧拉公式的适用
范围
（8.6） 抛物线公式
2
E
2
E
f
P
P
当
c
E
时，
0.57f
y
f
y
—压杆材料的屈服
极限；
—常数，一般取
0.43
cr
f
y
[1
(
2
)]
c
P
cr
cr
Af
y
[1
(
2
)].A
c
（8.7） 安全系数法校核
P
cr
P[P
cr
]
压杆的稳定公式
k
w
12
P
（8.8） 折减系数法校核
.[
]
压杆的稳定性
A
—折减系数
[
cr
]
，小于1
[
]
10 动荷载
序号 公式名称
（10.1） 动荷系数
公式 符号说明
构件匀加速
上升或下降
时的动荷系
数
（10.3） 构件匀加速
a
上升或下降
d
K
d
j
(1)
j
g
时的动应力
(10.4) 动应力强度
dmax
K
d
jmax
[
]
条件
（10.5） 构件受竖直
2H
K11
方向冲击时
d
j
的动荷系数
（10.6） 构件受骤加
K
d
1102
荷载时的动
荷系数
（10.7） 构件受竖直
v
2
方向冲击时
K
d
11
g
j
j
的动荷系数
（10.8） 疲劳强度条
件
max
[
]
K
(10.2)
P
d
N
d
d
d
P-荷载
N-内力
K
d
P
j
N
j
j
j
-应力
-位移
d-动
j-静
a-加速度
a
K
d
1
g-重力加速度
g
[
]杆件在静荷载作用下
的容许应力
H-下落距离
H=0
v-冲击时的速度
-疲劳极限
[
]
-疲劳应力容许值
K-疲劳安全系数
13
9 能量法和简单超静定问题
序号
（9.1）
公式名称
公式
外力虚功：
W
e
P
1
1
P
2
2
M
e3
3
...
P
i
I
（9.2） 内力虚功：
W
Md
Vd
Ndl
Td
llll
（9.3） 虚功原理：
变形体平衡的充要条件是：
W
e
W0
（9.4） 虚功方程：
变形体平衡的充要条件是：
W
e
W
（9.5） 莫尔定理：
Md
Vd
Ndl
Td
llll
（9.6） 莫尔定理：
MMKVVNNTT
dx
dx
dx
dx
l
EI
l
GA
l
EA
l
GI
（9.7） 桁架的莫尔定理：
NN
l
EA
（9.8）
（9.9）
变形能：
UW
（内力功）
变形能：
UW
e
（外力功）
（9.10）
外力功表示的变形能：
1111
UPP...PP
i
I
1122ii
2222
（9.11） 内力功表示的变形能：
M
2
(x)KV
2
(x)N
2
(x)T
2
(x)
dx
dx
dx
dx
l
2EI
l
2GA
l
2EA
l
2GI
14
（9.12） 卡氏第二定理：
i
U
P
i
（9.13） 卡氏第二定理计算位移公式：
i
MMKVVNNTT
dx
dx
dx
dx
l
EIP
l
GAP
l
EAP
l
GIP
iii
i
（9.14） 卡氏第二定理计算桁架位移公式：
i
NN
l
EA
i
P
（9.15） 卡氏第二定理计算超静定问题：
By
MM
dx0
l
EIR
B
（9.16） 莫尔定理计算超静定问题：
By
MM
dx0
l
EI
（9.17） 一次超静定结构的力法方程：
11
X
1
1P
0
（9.18）
X
1
方向有位移
时的力法方程：
11
X
1
1P
（9.19） 自由项公式：
1P
M
1
M
P
dx
l
EI
2
（9.20） 主系数公式：
11
M
1
dx
l
EI
（9.21） 桁架的主系数与自由项公式：
N
1
l
l
EA
N
1
N
P
l
l
EA
2
11
1P
15
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