2024年1月12日发(作者：)
高数下册课后习题答案
【篇一：同济大学《高等数学》第五版下册答案】
-2
【篇二：高等数学同济版第六版下册课后题答案】
点击“答案”两字直接链接到答案 （温馨提示“按住ctrl+鼠标左键直接链接到答案”），为保答案正确性，先上几张截图。
篇三：高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系
编
ss=txt> 1多元函数概念
一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2].
答案：f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4
二、求下列函数的定义域：
x2(1?y)22
1、f(x,y)?{(x,y)|y?x?1}; 22
1?x?yy
2、z?arcsin {(x,y)|y?x,x?0};
x
三、求下列极限：
x2siny
1、lim（0） 2(x,y)?(0,0)2
x?y2、
y
(1?)3x (e6)
(x,y)?(?,2)xlim
x2y
四、证明极限 lim不存在. 2(x,y)?(0,0)4
x?y
证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在
2
1
, 2
1?
,(x,y)?(0,0)?xysin2
2五、证明函数f(x,y)?? 在整个xoy面上连续。 x?y
?0,(x,y)?(0,0)?
证明：当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。当(x,y)?(0,0)时，
1
xysi?0?f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。所以函数(x,ylim)?(0,0)22
x?y
在整个xoy面上连续。
六、设z?x?y2?f(x?y)且当y=0时z?x2，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=x2?x，z?x2?2y2?2xy?y 2偏导数
y
?z?z
?xy?z 1、设z=xy?xex,验证x?y
?x?y
?zy?z?z?z
?y?ex?ex,?x?ex，?x?y?xy?xy?xex?xy?z 证明：?xx?y?x?y
y
y
y
y
?z?x2?y2
1??
2、求空间曲线?:?在点（,,1）处切线与y轴正向夹角() 1
y?224??2
x2
3、设f(x,y)?xy?(y?1)arcsin, 求fx(x,1) ( 1)
y
4、设u?x, 求
z
zy
?u?u?u ， ，
?y?x?z
z
z
?uz?u1y?uzy?1
??2xylnx ?xlnx ?x 解： ，?y?zy?xyy
?2u?2u?2u2
??? 5、设u?x?y?z，证明 :
?x2?y2?z2u
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
2
2
2
1?22
xsin,x?y?0?22
f(x,y)??x?y
22?0,x?y?0?
1
0?0
limf(x,y)?0?f(0,0) 连续； fx(0,0)?lim fy(0,0)?limsi2 不存在，?0
x?0y?0x?0y?0x
y?0
7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 lim
x?0
f(a?x,b)?f(a?x,b)
x
（2fx(a,b)） 3全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
(a) 必要条件而非充分条件 （b）充分条件而非必要条件
（c）充分必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(a) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （c）全微分存在，则偏导数必连续 （d）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
yy
y1
1）z?ex dz?ex(?2dx?dy)
xx
22
2）z?sin(xy) 解：dz?cos(xy)(y2dx?2xydy)
yz?11y
3）u?x解：du?xdx?xzlnxdy?2xzlnxdz
zzz
y
z
y
y
y
3、设z?ycos(x?2y)， 求dz
(0,)4
?
解：dz??ysin(x?2y)dx?(cos(x?2y)?2ysin(x?2y))dy?dz|(0,
?
4
)=
?
4
dx?
?
2
dy
4、设f(x,y,z)?
z1
(?2dx?4dy?5dz) 求： df(1,2,1)22
25x?y
1?22
(x?y)sin?
5、讨论函数f(x,y)??x2?y2
?0,?
,(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)
在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
1
(x2?y2)sin?0?f(0,0) 所以f(x,y)在（0，(x,ylim)?(0,0)22
x?y
fx(0,0)?
f(?x,0)?f(0,0)f(0,?y)?f(0,0)
?0,fy(0,0)?lim?0
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?x?yf(?x,?y)?0
?0，所以可微。
22
(?x)?(?y)
lim
0）点处连续。解：
4多元复合函数的求导法则
dzvt
1、 设z?u,u?sint,v?e，求
dt
dzet?1tet
?e?lnsint?(sint)?et解：=cost.(sint)
dt
?z?z2x?3y
,，求, 2、 设z?(x?y)
?x?y
?z2x?3y?1
?(2x?3y)x(?y)?3x(?y2x?)3ylnx?( y), ?y
?z?zyn
?2y?nz 3、 设z?xf(2)，f 可微，证明x?x?yx
?2z?2z?2z22
4、 设z?f(x?y,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求，， 22
?x?y?y?x
?z解：?2xf1??2yf2? ,
?x
2?z?z
?2x(f11??(?2y)?f12??2x)?2f2??2y(f21??(?2y)?f22??2x) ??2yf1??2xf2? ,
?x?y?y
=2f1??4xyf11???4(x?y)f12???4xyf22??
2
2
2?z?2z22??????? ,??2f1??4y2f11???8xyf12???4x2f22?? ?2f?4xf?8xyf?4yf111122222
?y?x
?2zyx
5、 设z?f(xy,)?g()，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求
?x?yxy
?zy1解：?f1?y?2f2??g? ，
?xxy?2z11y11x
?f1??y(f11??x?f12??)?2f2??2(f12??x?f22??)?2g??3g??
?x?yxxxxyy
du
6、 设u?f(x,y,z)，z?f(x,y)，y??(x)，求
dx
du?
?f1??f2???(x)?f3?(fx?fy???(x))。 解：dx
?u?x?2y?2z?2z?2z?2z
?2=0 化为 ?0， 7、设z?z(u,v)，且变换? 可把方程62?
v?x?ay?x?y?u?v?y?x?
其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值 (a?3)
?2z?2z?2z?2u?z?z?z?z?z?z
?2??2 证明：??2?a??
2?u?v?y?u?v?x?u?v?x?u?v
2
?2z?2z?2z?2z?2u2?u?42?4a?a??22?(a?2)?a2
2?u?v?x?y?u?v?y?u?v2?u?v2
?2z2?u?(6?a?a)2?0a=3 得：(10?5a)
?u?v?v
?2z?2z
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f1/(1,1)?a,f2/(1,1)?b 又，?(x)?f?x,f[x,f(x,x)]? 求 ?(1).和?/(1) (1) ,
(a+ab+ab2+b3)
5隐函数的求导公式
dy
1、 设ylny?x?y，求
dx
dy1?解：令f(x,y)?ylny?x?y，fx??1,fy?lny,? dxlny
z222
2、 设z?z(x,y)由方程x?y?z?yf()确定，其中f可微，证明
y
?z?z
(x2?y2?z2)?2xy?2xz
?x?y
?2zxy?z
3、 设z?z(x,y)由方程?e所确定，其中f可微，求
?x?yz
?2zz?zz?zz
???,??, 3
?x?y?xx(1?z)?y1?zx(1?z)
?x2?y2?z2?1dyxdzdydz
4、 设?，求， ( ，???0) 22
dxydxdxdx?z?x?y
?z?z
5、 设z?z(x,y)由方程f(xy,y?z,xz)?0所确定，f可微，求,
?x?y
fyfxf1?y?zf3??zf1?x?f2??z
解：令f(x,y,z)?f(xy,y?z,xz) ，则 ????,????
?xfz?yf????f2?xf3f2?xf3z6、设z?f(x,y)由方程z?x?y?ez?x?y?0所确定，求dz (dz??dx?dy) 7、设z=z(x,y)由方程 3xy?xcos(yz)?z3?y所确定，求
?z?z
,,
?y?x
()?3?cosyz?zx.3xyln3?xzsin(yz)?1
?? , ?x?y3z2?xysinyz()3z2?xysin(yz)
6 微分法在几何中的应用
1、求螺旋线x?2cost,y?2sint,z?3t 在对应于t
?
?
4
处的切线及法平面方程
解：切线方程为
??z?
3?
3
法平面方程?2(x?2)?2(y?2)?3(z?
3?
)?0 4
?x2?y2?z2?50
2、 求曲线? 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 222
?z?x?y
x?3y?4z?5
解：切线方程为 ，法平面方程：4x?3y?0 ??
4?30
222
3、 求曲面2x?3y?z?9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为2(x?1)?3(y?1)?2(z?2)?0
x?1y?1z?2
及法线方程 ??
2?32
4、 设f(u,v)可微，证明由方程f(ax?bz,ay?bz)?0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：令f(x,y,z)?f(ax?bz,ay?bz)，则
fx?f1a,fy?f2a,fz??bf1?bf2,??(f1a,f2a,?bf1?bf2)??(b,b,a)?0 ，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。 5、 证明曲面x和为a
2
????????
23
?y
23
?z
23
上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方?a(a?0）
2
3
发布评论