2024年4月13日发(作者：)
第3章微积分
Maple的一个非常实用的功能就是微积分计算.它能求导数，作积分，作级数展
开，作无穷求和，还有很多很多功能.在这一章，我们关注最基本的功能.
极限
极限思想是微积分学中最基本的思想，而Maple知道怎么计算它们.例如，要求
sin3x
lim
的极限值，可以使用Maple的limit命令，表达式如下所示：
x→0
x
>limit(sin(3*x)/x,x=0);
3
当然你也可以使用Maple函数来求解
>y:=x->sin(3*x)/x;limit(y(x),x=0);
y:=x→
3
您可以输入?limit来查看这条命令的详细说明，但这并不是命令的全部说明.
问题3.1
尝试着练习这个问题：
cos(x)−1
x→0
x
2
lim
sin(3x)
x
微分
导数相对来说是容易的，所以这一节也一样.Maple对初等函数和特殊函数的求导
是同样容易的，所以这一节只是展示两条Maple的微分命令，一条用于表达式，一条
用于函数.
首先，我们对表达式进行微分.我建议你使用下面说明正切函数用法的形式来求一
阶导数，二阶导数和三阶导数.你也可以使用diff命令，它直接求出导数，或者Diff
和value命令，给出所求表达式的导数，并计算其值.Diff命令的用途实际上超出你的
想像，因为它给你一个机会查看你要Maple求的导数是不是你所想要的.
>diff(tan(x),x);
1+tan(x)
2
>diff(tan(x),x$2);
2tan(x)(1+tan(x)
2
)
>d:=Diff(tan(x),x$3);
>d:=value(d);
∂
3
tan(x)
d:=
3
∂x
d:=2(1+tan(x)
2
)
2
+4tan(x)
2
(1+tan(x)
2
)
1
>d:=simplify(d);
d:=2+8tan(x)
2
+6tan(x)
4
下面让我们看一下如何对函数进行微分.
>f:=x->tan(x)/x;
f:=x→
tan(x)
x
Diff命令不能对函数进行微分，因此我们要使用Maple的D命令.这是一条体积
小但功能非常强的命令.它能求复合函数的多阶导数（查看所有用法请输入?D），但我
们只能对单一函数求一阶导数.求一阶导数是非常容易的
fp:=D(f);
1+tan(x)
2
tan(x)
f
p
:=x→
−
xx
2
注意，指定D(f)对f
p
的结果产生函数f
p
(x).求高阶导数的方法有很多种，这是
最通用的一种.
>fpp:=D[1$2](f);
f
pp
tan(x)(1+tan(x)
2
2(1+tan(x)
2
)2tan(x)
:=x→2
−
+
xx
2
x
3
方括号里的“1”表示关于参数列表里的第一个变量（这里只有一个）求微
分，“$2”表示相当于执行diff命令两次.
好了，内容就这么多.这里有一些练习需要训练.
问题3.2
求下列函数的形式导数.大部分使用表达式形式，(a)和(d)使用函数形式.如果得
到混乱的结果，尝试使用simplify命令化简它.你会发现simplify命令对函数无效，
为了使结果更好看，用鼠标把你想要化简的混乱结果复制到剪贴板，把它赋给一个新
的变量，删除无关的内容，然后再执行化简命令.然后再使用剪切和粘贴命令重建求导
函数.Maple的这个组合及编辑是做无错误代数的好方法.
∂
3
√
∂∂∂
2
tan(x)
∂
3
(a)
3
1+x(b)J
0
(x)(c)I
1
(x)(d)
2
e(e)Γ(x)
∂x∂x∂x∂x∂x
∂∂
erf(x)(g)K(k)
∂x∂k
（(g)是第一种形式的完全椭圆积分，使用Maple的EllipticK命令.）
(f)
问题3.3
这是一个你在大学里也使用的求最大最小问题.考虑函数ln(x)J
0
(x)（我用词“函
数”是数学意义的，而不是Maple意义的.如果你仅仅使用一个Maple表达式来定义
上面的函数，这个问题是很简单的.）(a)首先画出函数在区间[0,10]上的图像.(b)观察
图像，找出并估摸函数取得最大最小值时x的值.接着对函数求导，然后使用fsolve
命令求出x的精确值.假若求导后的表达式为f，如果你想求出1.1附近的零点，你可
以这样做：fsolve(f,x=1.1);
2
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