2024年5月6日发(作者：)

八年级数学上册优生训练

专题提升全等三角形的计算与证明

专题一全等三角形性质的简单运用

1.如图，已知AB=CB，BE=BF，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2．

（1）证明：△ABE≌△CBF；

（2）若∠FBE=40°，∠C=45°，求∠E的度数．

专题二全等三角形在实际生活中的应用

2.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．

专题三全等三角形的开放与探究问题

3．如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，且E，F，C，D在同一直线上．

（1）△ABC与△ADE是否全等？并说明理由；

（2）若∠B=30°，∠BAC=100°，点F是CE的中点，连结AF.请你编写一道关于角度计算的题目，并解

答.

专题四全等三角形的动态问题

4．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图1，已知，在△ABC中，AB＝AC，P

是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连结BQ，CP，则BQ＝CP.”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，发现△ABQ≌△ACP，从而得到BQ＝CP.之后，他将点P

移到△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图2给出说明．

5．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠B=∠C，点D为AB的中点．如果点P在线段

BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP

全等？

专题五全等三角形的综合问题

6．如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝

AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E，设BD＝m，CE＝n.

（1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）；

（2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA

＝∠AEC＝∠BAC＝α（0°＜α＜180°），设BD＝m，CE＝n.问DE的长如何表示？并请证明你的结论．

7．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，

使点C与点A重合，折痕为EF．

（1）如果∠DEF=110°，求∠BAF的度数；

（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．

参考答案

1.（1）∵∠1=∠2，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF．

（2）∵∠1=∠2，∠FBE=40°，∴∠1=∠2=70°，∵△ABE≌△CBF，∴∠A=∠C=45°，∵∠ABE=∠1+

∠FBE=110°，∴∠E=180°-∠A-∠ABE=25°．

2.（1）由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠

BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，

CEB（AAS）；

∴△ADC≌△

（2）由题意得：∵一块墙砖的厚度为acm，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，

AD=CE=4a，∴DC+CE=BE+AD=7a=35，∴a=5，

答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

3.（1）△ABC与△ADE全等.理由如下：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠

BAC=∠DAE．在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）.

（2）求∠FAE的度数．∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=50°．∵△ABC

≌△ADE，∴∠ACB=∠AED=50°．∵点F是CE的中点，∴△ACF≌△AEF，∴∠AFC=∠AFE=90°．∴

∠FAE=90°-∠E=40°．（答案不唯一）

4.∵∠QAP＝∠BAC，∴∠QAB＝∠PAC，又∵AB＝AC，AQ＝AP，∴△ABQ≌△ACP（SAS），∴BQ

＝CP.

5.（1）如图，经过1秒后，PB=3cm，

PC=5cm，CQ=3cm，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts

△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∵∠B=∠C，全等三角形的判定定理

SAS可知，有两种情况：当BD=PC，BP=CQ或当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；

①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；

②当BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=

当点Q的运动速度为

；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，

cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．

6.（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，

∵∠BAD＋

∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，又∵AB＝AC，

∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE＝m＋n；

（2）DE＝m＋n.证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋

∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠DBA＝∠CAE.

∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD

＝BD＋CE＝m＋n.

7.（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠CFE=180°-∠DEF=70°，由折叠知：∠

AFE=∠CFE=70°，∴∠AFB=180°-∠AFE-∠CFE=40°，∵∠B=90°，∴∠BAF=90°-∠AFB=50°．

（2）结论：△ABF≌△AGE.由折叠知：AG=CD，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C，∴∠B=∠G，∵AB=CD，

∴AB=AG，∵∠GAF=∠C=∠EAB，∴∠GAE=∠BAF，在△ABF和△AGE中，

AGE（AAS）．

∴△ABF≌△