2024年5月10日发(作者：)

定角

夹定高

（探

照灯

模型）

什么

叫定角

定高，

如

右图，

直线

外一点

44

到直线

EC

距离

为定值

（定

高），

NBAC

为

定角。

则

40

有最

小值。

又

因为，

像

探照灯

一样所

以也叫

探照灯

模型。

我们可

以先看

一下下

面这张

动图，

在

三角形

ABC

当中，

NE4C

是

一个定

边的

高线，

交

角，

过

4

点作

日。

高

40

为

定值。

边与

0点，

我们

可以看

从动

态图中

（定

角定高

动态图

.器

p）

到，

如

果顶角

和高，

都为

定值，

那么

三角形

ABC

的外接

II

的大

小，

也就是

半径，

是

会随着

A

点的

运动而

发生

变化的

从而弦

BC

的长也

会发生

变化，

它会有

一个最

小值，

由于

它的高

40

是

定值，

因此

三角形

ABC

的面

积就有

一个最

小值.

我

们可以

先猜想

一下，

40

过

圆心的

时候，

这

个外接

圆是最

小的，

也

就是，

EC

的

长是最

小的，

从而三

角形

ABC

的面

积也是

最小的

定

角定高

动态图

gsp

.

.

（定长

可用圆

处理，

特别，

定长作

为高可

用两条

平行线

处理）

那么该

如何证

明呢？

于a

点.

（如图

1）

首先我

们连接

@4,

OB,0C,

过

0点作

显然

Q4+0H

之

4D,

当且

仅当儿

QO

三点共

线时取

*二二

由

于nm

C

的大

小

是一个

定值，

而且

它是圆

白的圆

周角，

因此它

所对的

圆心角

上408

的

度数，

也

是一个

定值.

因此

0H

和圆

0的

半径，

有一

个固定

关系，

所以，

04+

0H

也和

的半

径，

有一

个固定的等量

关系。

再

根据我

们刚才

说的，

0AWH≥ADt

就可

以求得

圆

"半

径的最小值.

［筒

证：

0A+0H>AD

0EDH

为

短形,

0H

二

ED,

在甘

zXAOE

中，

A0>AE.

^A0+0H=A0+ED>AE+ED=AD：

总结:

1,

定角

定高三

角形面

积最小值时，

该三

角形为

等腰三

角形，

其

定高是

所对底

，边的

垂直平

分线，

或者说

定

高过该

三角形

外接圆

圆心。

2

.定角

可以看做是圆

周角，

因此

它所对

圆心角

不变，

往往要

通过圆

心角所

在等腰

三角形

性中解

直角三

角形.

下面我

们根据

一道例

题来说

明

它

的

应用。

CD

上

例：

如图，

在四边形

AECQ

中，

AB=AD=CD=4f

AD//BC,

上比

60”

，

点

工

F

分

别为边

的而

积是否

存在最

小值？

若

存在，

求

出其最

小值；

若

不存在

，请

的两个

动点，

」LNE4F

二

60"

,

则

说

明理由

S

【简

答】

图

中有角含半角

模型，

因

此我们

想到旋

转的方

式来姓

理.

,

则

NE4

/

。尸绕

A

点顺时

针旋转

12炉

，

得

二

60*

,

易证

^AAEF.

作

ZXAET

的

外接圆

0。，

作

DHLRC

于煎

H,

4G_LHC

于点

G,

则

N

尸

0H

二

60

'

,

AG=

将

乒AR

=

2

3,

设0

0的

半径为

2

h

则

UH

二竺

=工

22

-OA

+

OH≥AG

V

…

r+工

之

2

有

.尸

2

3

ZFAE

=

ZF'AE

=

^FOE

=

60°

:.F'E

=

1

:

S

也

=

兄心

=

g

^-

EF

，•

AG

=

%

书

2

超

3

4

万

・•・

ZMEF

的

面积最

小值为

4/

一

^

以下

是两到

相关的

针对练

习题，

大家学

习完以

后可以

去自主

的完成

一项，

后面也

有详细

的解答

过程，

做完

以

后大家

可以对

照一下

答案，

学会了

这种类

型题的

解法.

解题

步骤：

L

作定角

定高三

角形外

接圆，

并设外

接圆半

径为小

用

r

表示

圆心到

底边距

离及底

边长1

2

.根据

•'半

径+弦

心距之

定高”

求

r

的取值

范围；

3

.用

r

表示定

角定高

三角形

面积，

用

r

取值

范围求

面积最小值。

【针对

练习】

1.

(1)

如图

L

在

的面积

是否存

中，

ZACB=6^

,

CD

为

48

边上

的高，

若

Cg,

试判断

在最

小值？

若

存在，

请求出

面积最小值；

若不

存在，请说明

理由.

(2)

如图2

某

园林单

位要设

计把四边形花

圃划分

为几个

区域种植不同花草.

在

四边形

A5CD

中，

Z

BADM^

,

/

氏上庆

90”，

C

而

C

决

点及

尸分

别为边

4

D

上

的点，

若保持

CE_LCF,

那么四

边形

4EC

f

的面

积是否

存在最大值，

若

存在，

请

求出面

积的最

大值；

若不

存在，请说明

理由.

(1)

作

解：如图

1-1

的

外接圆

OO,

连

O

M

OB.

OC,

作

OH_LAB

于

H

=

09

半径为

八

OH

=

-OA

=

2

-r,AB=2AH=2x^-OA

22

得厂之

2

3

=

^r

®.CO

+

HO≥CD,

即

l+

上『之4,

2

此=b且8.8

(2)

=

分析：

此处求

面积最

大值，

而定

角定高

一般求

面积最小值。

由于二

二

3><"r><4

工

2赤1之26wg=与g

S

四迫倒

ECF

5

四边网

K7

日

—

^aCDF

-

^aCBe

o,L

tit.

产

=7乙拉

+

72

—

(S

8F

+

5

UBE)

'

aL

Ur