2021年全国高考理科数学试题及答案

2023年11月30日发(作者：)

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷5页，23小题，总分值150分。考试用时120分钟。

考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将

试卷类型〔B〕填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按

以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试完毕后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题

目要求的。

1．集合={|<1}，={|}，那么

AxxBx

31

x

A． B． C． D．

AB{x|x0}AB{x|x1}

ABRAB

2．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方

ABCD

形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是

A． B．C． D．

1

48

π

1

24

π

3．设有下面四个命题

1

p

1

：假设复数满足，那么； ：假设复数满足，那么

zz

R

zR

z

p

2

zR

2

zR

；

p

3

：假设复数满足，那么； ：假设复数，那么.

z,z

12

zzRp

124

zz

12

其中的真命题为

A． B． C． D．

p,pp,pp,pp,p

13142324

zR

zR

4．记为等差数列的前项和．假设，，那么的公差为

S

n

{a}aa24S48{a}

n456n

n

A．1 B．2 C．4 D．8

5．函数在单调递减，且为奇函数．假设，那么满足的的取

f(x)1f(x2)1

(,)f(1)1

x

值范围是

A． B． C． D．

[2,2]

6．展开式中的系数为

(1)(1x)

[1,1][0,4][1,3]

1

6

x

2

2

x

B．20 C．30 D．35 A．15

7．某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，

俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16

nn

和两个空白框中，可以分别填入 8．右面程序框图是为了求出满足3−2>1000的最小偶数，那么在

n

A．>1 000和=+1 B．>1 000和=+2 C．1 000和=+1 D．1 000和=+2

AnnAnnAnnAnn



9．曲线：=cos ，：=sin (2+)，那么下面结论正确的选项是

CyxCyx

12

2π

3

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得

C

1

到曲线

C

2

π

6

π

个单位长度，B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

12

C

1

得到曲线

C

2

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得

C

1

到曲线

C

2

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，

C

1

得到曲线

C

2

1

π

26

1

π

212

10．为抛物线：=4的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线

FCyxFlllCAB

121

2

lCDEABDE

2

与交于、两点，那么||+||的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

11．设为正数，且，那么

xyz

235

xyz

A．2<3<5 B．5<2<3 C．3<5<2 D．3<2<5

xyzzxyyzxyxz

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，

1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项2，接下来的两项是2，2，再接下来的三

项是2，2，2，依此类推。求满足如下条件的最小整数：>100且该数列的前项和为2的整数幂。

NNN

那么该款软件的激活码是

A．440 B．330 C．220 D．110

012

001

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．向量，的夹角为60°，||=2，||=1，那么| +2 |= .

abab a b



x2y1



14．设，满足约束条件，那么的最小值为 .

xy



2xy1

z3x2y



xy0



xy

22

15．双曲线：〔>0，>0〕的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的

CabAAbAAC

22

1

ab

一条渐近线交于、两点。假设∠=60°，那么的离心率为________。

MNMANC

16．如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为。、、为圆

OABCODEFO

上的点，△，△，△分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以

DBCECAFABBCCAAB

BCCAABDBCECAFABDEFABC

，，为折痕折起△，△，△，使得、、重合，得到三棱锥。当△的边长变

化时，所得三棱锥体积〔单位：cm〕的最大值为_______。

3

三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

a

2

17．〔12分〕△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为

ABCABCabcABC

3sinA

〔1〕求sinsin;

BC

〔2〕假设6coscos=1，=3，求△的周长.

BCaABC

18.〔12分〕

如图，在四棱锥中，，且.

P-ABCDAB//CD

BAPCDP90

〔1〕证明：平面⊥平面；

PABPAD

〔2〕假设===，，求二面角--的余弦值.

PAPDABDCAPBC

APD90

19．〔12分〕

为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每天从该消费线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸〔单位：cm〕．根据长期消费经历，可以认为这条消费线正常状态下消费的零件的尺寸服从正态分

布．

N(,)



〔1〕假设消费状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件

X

(3,3)



数，求及的数学期望；

P(X1)

X

〔2〕一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在之外的零件，就认为这条消费线在这一

(3,3)



天的消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程进展检查．

〔ⅰ〕试说明上述监控消费过程方法的合理性；

〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

2

1

16

11

1616

2222

x9.97x

i

，经计算得，其中为抽取

s(xx)(x16x)0.212

ii



x

i



16

i1

1616

i1i1

的第个零件的尺寸，．

i

i1,2,,16

ˆ

，用样本标准差

s

作为的估计值，利用估计值判断是否需对用样本平均数作为的估计值





ˆ

x





ˆˆˆˆ

3,3)(



之外的数据，用剩下的数据估计



和〔准确到〕． 当天的消费过程进展检查？剔除



2

附：假设随机变量服从正态分布，那么，

Z

N(,)



P(3Z3)0.997 4



0.997 40.959 2

16

，．

0.0080.09

20.〔12分〕

33

xy

22

椭圆：〔>>0〕，四点〔1,1〕，〔0,1〕，〔–1，〕，〔1，〕中恰有三点

CabPPPP

22

=1

1234

22

ab

在椭圆上.

C

〔1〕求的方程；

C

〔2〕设直线不经过点且与相交于，两点。假设直线与直线的斜率的和为–1，证明：

lPCABPAPB

222

l

过定点.

21.〔12分〕

2

xx

函数e+(﹣2) e﹣.

（fx)

aax

〔1〕讨论的单调性；

f(x)

〔2〕假设有两个零点，求的取值范围.

f(x)

a

〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕



x3cos,



在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的参数方程为

xOyCθl



ysin,







xa4t,

（t为参数）

.



y1t,



〔1〕假设=−1，求与的交点坐标；

aCl

〔2〕假设上的点到的间隔 的最大值为，求.

Cla

17

23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕

函数〔〕=–++4，()=│+1│+│–1│.

fxxaxgxxx

〔1〕当=1时，求不等式〔〕≥〔〕的解集；

afxgx

〔2〕假设不等式〔〕≥〔〕的解集包含[–1，1]，求的取值范围.

fxgxa

2

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题

目要求的。

1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C

7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A

二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13． 14．-5 15． 16．

2315cm

23

3

3

三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

a

2

17．〔12分〕△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为

ABCABCabcABC

3sinA

〔1〕求sinsin;

BC

〔2〕假设6coscos=1，=3，求△的周长.

BCaABC

解：〔1〕

由题意可得，

SbcsinA

ABC

1a

2

23sinA

化简可得，

2a3bcsinA

22

根据正弦定理化简可得：。

2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC

22

〔2〕

2

3

2



sinBsinC



12





3

由，



cosAcosABsinBsinCcosBcosCA



23



cosBcosC

1



6



因此可得，

BC



3

将之代入中可得：，

sinBsinC

2

31





sinCsinCsinCcosCsinC0



2

3

223



化简可得，

tanCC,B

3



366

利用正弦定理可得，

bsinB3

a31

sinA2

3

2

同理可得，

c3

故而三角形的周长为。

323

18.〔12分〕

如图，在四棱锥中，，且.

P-ABCDAB//CD

BAPCDP90

〔1〕证明：平面⊥平面；

PABPAD

〔2〕假设===，，求二面角--的余弦值.

PAPDABDCAPBC

APD90

〔1〕证明：

AB//CD,CDPDABPD

,

又,、都在平面内，

ABPA,PAPDP

PAPDPAD

故而可得。

ABPAD

又在平面内，故而平面⊥平面。

ABPABPABPAD

〔2〕解：

不妨设，

PAPDABCD2a

以中点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系。

ADOOAxOPz

故而可得各点坐标：，

P0,0,2a,A2a,0,0,B2a,2a,0,C2a,2a,0

因此可得，

PA2a,0,2a,PB2a,2a,2a,PC2a,2a,2a





假设平面的法向量，平面的法向量，

PAB

nx,y,1

1



PBC

nm,n,1

2



故而可得，即，







nPA2ax2a0x1

1





nPB2ax2ay2a0y0

1

n1,0,1

1





nPC2am2an2a0m0

2



2



同理可得，即。



n0,,1



2

2



2





nPB2am2an2a0n

2

2

因此法向量的夹角余弦值：。

cosn,n

12

13

2

3

2

3

很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为。



19．〔12分〕

3

3

为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每天从该消费线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸〔单位：cm〕．根据长期消费经历，可以认为这条消费线正常状态下消费的零件的尺寸服从正态分

布．

N(,)



〔1〕假设消费状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件

X

(3,3)



数，求及的数学期望；

P(X1)

X

〔2〕一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在之外的零件，就认为这条消费线在这一

(3,3)



天的消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程进展检查．

〔ⅰ〕试说明上述监控消费过程方法的合理性；

〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

2

1

16

11

1616

2222

x9.97x

i

，经计算得，其中为抽取

s(xx)(x16x)0.212

ii



x

i



16

i1

1616

i1i1

的第个零件的尺寸，．

i

i1,2,,16

ˆ

，用样本标准差

s

作为的估计值，利用估计值判断是否需对用样本平均数作为的估计值





ˆ

x





ˆˆˆˆ

3,3)(



之外的数据，用剩下的数据估计



和〔准确到〕． 当天的消费过程进展检查？剔除



2

附：假设随机变量服从正态分布，那么，

Z

N(,)



P(3Z3)0.997 4



0.997 40.959 2

16

，．

0.0080.09

解：〔1〕

PX11PX010.997410.95920.0408



16

由题意可得，满足二项分布，

X

X~B16,0.0016



因此可得

EX16,0.0016160.00160.0256



〔2〕

1

由〔1〕可得，属于小概率事件， ○

PX10.04085%



故而假如出现的零件，需要进展检查。

(3,3)



2

由题意可得○，



9.97,0.21239.334,310.606

故而在范围外存在这一个数据，因此需要进展检查。



9.334,10.606

此时：，



x10.02

9.97169.22

15

1

15



xx0.09

。



15

i1



20.〔12分〕

33

xy

22

椭圆：〔>>0〕，四点〔1,1〕，〔0,1〕，〔–1，〕，〔1，〕中恰有三点

CabPPPP

22

=1

1234

22

ab

在椭圆上.

C

〔1〕求的方程；

C

〔2〕设直线不经过点且与相交于，两点。假设直线与直线的斜率的和为–1，证明：

lPCABPAPB

222

l

过定点.

解：〔1〕

根据椭圆对称性可得，〔1,1〕〔1，〕不可能同时在椭圆上，

PP

14

3

2

PP

34

〔–1，〕，〔1，〕一定同时在椭圆上，

33

22

33

〕，〔1，〕， 因此可得椭圆经过〔0,1〕，〔–1，

PPP

423

22

代入椭圆方程可得：，

b1,1a2

13

2

a4

x

2

故而可得椭圆的标准方程为：。

y1

2

4

〔2〕由题意可得直线与直线的斜率一定存在，

PAPB

22

不妨设直线为：,为：.

PAPB

22

ykx1

y1kx1





ykx1



22

联立，



x

2

4k1x8kx0



2



y1

4

假设，此时可得：

Ax,yBx,y



1122

2



8k14k

2



81k141k



A,,,B



22



，

22





4k14k1



41k141k1



141k



此时可求得直线的斜率为：，

k

AB

yy

21

xx8k

21

14k

2



2

2

41k1



4k1

81k



41k1



2

2



4k1

2

化简可得，此时满足。

k

AB

1



12k

2

k

1

2

1

当○时，两点重合，不合题意。

k

1

AB

2

1

18k14k



2

2

当○时，直线方程为：，

k

yx

22



2

2



12k



4k14k1

4k4k1x



即，当时，，因此直线恒过定点。

y

21.〔12分〕

2

xx

函数e+(﹣2) e﹣.

（fx)

aax

2

2



12k

x2

y1



2,1

〔1〕讨论的单调性；

f(x)

〔2〕假设有两个零点，求的取值范围.

f(x)

a

解：

〔1〕对函数进展求导可得。

f'x2aea2e1ae1e1



2xxxx

xx

1

当时，恒成立，故而函数恒递减 ○

a0

f'xae1e10







xx

2

当时，○，故而可得函数在上单调递

a0

f'xae1e10xln





1

1





,ln

a



a

减，在上单调递增。



ln,





1

a





11

lna1fln

， 〔2〕函数有两个零点，故而可得，此时函数有极小值



aa

a0

要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，

11

10a0galna1lna



，令， 故而可得

aa

a1

对函数进展求导即可得到，故而函数恒递增，

g'a0



2

a

1

又，，

g10



galna10a1



a

因此可得函数有两个零点的范围为。

a0,1



〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕



x3cos,



在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的参数方程为

xOyCθl



ysin,







xa4t,

（t为参数）

.



y1t,



〔1〕假设=−1，求与的交点坐标；

aCl

〔2〕假设上的点到的间隔 的最大值为，求.

Cla

17

解：

11

x

2

将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为

y1

2

yx1a

9

44

13



yx

13



〔1〕当时，代入可得直线为，联立曲线方程可得：，

a1

yx



44

44



x9y9

22



21



x





25

或，故而交点为或解得



x3



,

2124









3,0



2525



y0



y

24



25



3cos4sina4



11



x3cos,



〔2〕点到直线的间隔 为，



yx1a

d17

ysin,



44

17



即：，

3cos4sina417



化简可得，

17a43cos4sin17a4





根据辅助角公式可得，

13a5sin21a





又，解得或者。

55sin5





a8a16

23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕

函数〔〕=–++4，()=│+1│+│–1│.

fxxaxgxxx

〔1〕当=1时，求不等式〔〕≥〔〕的解集；

afxgx

〔2〕假设不等式〔〕≥〔〕的解集包含[–1，1]，求的取值范围.

fxgxa

解：

2

x12x





将函数化简可得

gxx1x1



gx21x1







2xx1



（1） 当时，作出函数图像可得的范围在和点中间，

a1

fxgx



FG

联立可得点，因此可得解集为。





y2x

2



yxx4

G,1711,





171171





22



（2） 即在内恒成立，故而可得恒成立，

fxgx





1,1

xax42x2ax

22

根据图像可得：函数必须在之间，故而可得。

yax

l,l

12

1a1