4.2求数列的通项公式与前n项的和(理)解析版

2023年11月30日发(作者：)

4.2求数列的通项公式与数列的前n项和

一、选择题：一共12道题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】

已知等差数列{a，则

nnn

}的前n项和S满足}的最大项为，（）

S0,S0,2

1213113

且{S

SaS

mm





A.20B.22C.24D.26

【答案】D

【解析】由已知得：

S0,S0,

1213



a，a

67

00

{S

n

}的最大项为，所以m=6

S

m

，

即：，

a2

7

26

S

13

13()

aa

113



2

n



1

2.2019

【河南省南阳市届高三上学期期中质量评估】

已知有穷数列，从数列



aa

nn

中，，且中依次取出

n1,2,3,,729

an

n





211

a,a,a,

2514

构成新数列



bba

nnn

，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，



S

数列



b

n

的所有项的和为，则（）

T

A.B.C.D.与的大小关系不确定

STSTSTS

【答案】A

【解析】因为

s

13572729112729



T

728

，

2

b

n





33372921

nn



1

，所以，当时，

n6n6

b729

6

是

a

n

中第365项，符合题意，

6





313



所以

T



13





546

,所以，选A.

ST



3.2019

【安徽省黄山市届高三第二次模拟考试】

设表示正整数的个位数，

An



n

aAnAnA

n

2



,

为数列的前项和，函数



a

n

202

Ax



1



fxeegxb



x

1

，若函数满足，则数列的前



fgx







1

，且

bgnn

n





N

*

n

x

A



n

项和为．

__________

【答案】

3



23

n



n

2

n

【解析】由题意得，

a0,a2,a6,a2,a0,a0

123456

，

1

a2,a4,a8,a0,a0,a2

789101112

，…,可得



a

n

是周期为的周期数列，

10

aaa...a0aa2

1231012

，前项和为，即，

202

A2

fxee



x

1

单调递增，且

Axxn



12121



11,111,

，，

gxbgnfgx



n

xn

Ax

22

111111

SnnTn

nn

13...21,13...21

22



nn

，设，



222222

11111

Tnn

n



13...2321

21



nn



，

22222

111112323

nn



相式，可得，故答案

TnTSn

nnn



2...2213,3

21

nn





2222222

nn

23

n



为.

3



n

2

n

4.2019

【安徽省巢湖市柘皋中学届高三上学期第三次月考】





将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和

aaa

12

,,,



n

aa

nn

n







Saaa

n12n



．若，则下列说法中一定正确的是（）

aaRnN

nn



1







,

*



A.B.

S

n





a

1

1





n



*

1







不存在

nN

，使得

S0

n

*



C.对D.以上说法都不对

m、nN

，且，都有

mn

SS

mn

【答案】C









a

n1



*







，所以数列

a

n

构成首项为，公比为的等比数【解析】由，则

a

1



aaRnN

nn



1





,

a

n









列，所以，又当时，

S

n



{

a

1





n

1



na

1

,1







1





*

,1









1

S

2

n

0

，



所以当是成立的，故选

m、nN

，且时，

mn

SS

mn

C.

5.【全国名校大联考2018-2019年度高三第三次联考】

设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知

fx0,fxyfxfy



x,y



1

f





1

，若一个各项均为正数的数列



a

n

满足，其中是

fSfafanN



nnn

11

*

S

n



2



数列



aa

nn

的前项和，则数列中第18项（）

n



a

18

2

A.B.9C.18D.36

1

36

【答案】

C

【解析】对任意的正数均有且，又



x,y

fxyfxfy



f





1



1

a

n

0

且

2



11



fSfafafafaffSfaa



nnnnnnnn



111





2

，又

fx



22





是定义在上的单调增函数，



0,

Saaaaa

nnn



11

22

22



①

，当时，，

n1

111

aa0,a0,a1

1111

2

，当时，

n2



Saa

nnn



111

1

2

2





②①-②

，可得

22

222

aSSaaaa

nnnnnnn





111

，，





aaaa

nnnn



11

10



aaana

nnnn

0,12



1



为等差数列，

a1,d1a18

118

，，故选C.

an

n





1

*

，点为坐标原点，点，与

Oθ

AnfnnN

n



,



，向量

i0,1



n

是向量已知函数

OAn

6.

fx





x



2





cos



n

coscos



12

i

的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为___________．



t

sinsinsin



12

n

【答案】



,





【解析】根据题意得是直线

,OA



3



4







n

n

的倾斜角，则：

2





sin







n

cos



n

1111





2



tan





fn



n



，据此可得：



sin2222



n

nnnnn









cos







n



2

结合恒成立的结论可得实数的取值范围为

t



,





.

7.已知数列

{a}

nnnn

满足，的前10项的和等于（）

30

aa{a}



1



a

2

A.



6(13)3(133(13))



101010



3



4

B.C.D.

1

(13)





10

9

4

，则

3

【答案】C

3

【解析】设由题设可知数列是公比为首项是的等比数列故其前项和为



4(1)



S

10

1

3

10

3(13)



10

,应选C.

1

1



3

1

,.

4

10

3

8

．等差数列



aa

nn

的公差为，若，，成等比数列，则的前项和（）

2=

aaaS

248



n

n

ABCD

．．．．

nn1nn1



【答案】A

nnnn



11

22

【解析】

aaa

2481

，，成等比数列，∴，即

aaa

428111

(a6)(a2)(a14)

，解得，所以

a2

22

Snn

n

(1)

．

9.已知数列



aa

nn

满足的前10项和等于（）

30,

aaa

nn



12



A．



6(13)3(13)3(13)

【答案】C

【解析】∵，∴

aa

nn



1





a

n

是等比数列



101010

B．C．D．

1

(13)



10

9

4

，则



3

1

3





1

10

41











3

4





313



10

，故选C又

aS

2

，∴

a4

1

，∴

10



1

3

1



3

10．设

a

n



A25B50C75D100

．．．．

【答案】D

1n



，，在

Saaa

nn

1212100

S,S,,S

中，正数的个数是（）

sin

n

25

aaa

12

,,,

k

其中项为，且对任意，项为，共有项，如下：

mm

01

k2m

{a}a

nn

2m

11.“01”

定义规范数列

{}

中0的个数不少于1的个数．若=4，则不同的“规范01数列”共有（）

m

（）个（）个（）个（）个

A18B16C14D12

【答案】

C

【解析】由题意可得

a0a1

182371

，，

aaaa

，，…，中有3个0、3个1，且满足对任意≤8，都有，

k

aa

2

，…，中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,

k

4

00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01

010011,0101010114

，共个．

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数

学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，

2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是

22222

，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，

00101

2

2

，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款

NN100N

软件的激活码是（）

A440B330C220D110

．．．．

【答案】A

【解析】对数列进行分组如图

则该数列前组的项数和为

k

123



k

由题意可知，即，解得，

N100k≥14

kk

(1)



100

n

N

*

2

kk

(1)



2

即出现在第13组之后．

N

12



k

又第组的和为

k



21

k

12



前组的和为

k

1(12)(122)(21)(21)(21)



kk

12

k

(222)

12

k



22

k



1

k

，

设满足条件的的在第

Nk1

(

k

N

,)

k≥13Nk1k1

组，且第项为第的第个数，第

m

(mN)

组的前项和为，

m

1222

21

21

mm

*

*

5

要使该数列的前项和为2的整数幂，

N

即与互为相反数，

21

k2

即

212

k

，

所以

k

23

，

由，所以，则，此时

k≥14m≥5

23≥14

k2329

m

5

m

m

m

对应满足的最小条件为，故选．

N



29(291)



2

5440

A

6

二、填空题：一共4道题，每小题5分。

13.【四川省成都市2019届高三上期第一次诊断性考试数学（理）】

设的前n项和，且则

Sa

n

为数列________________

{a}

n

a4,aS,nN,

11

nn



5





【答案】32

【解析】由题意可知：

aaSnNaSS

111554

4,,,,422,

nnnnnn





SSSS2232

nn

1165

。

14.352017

【北京西城中届高三上学期期中数学】

已知是上的奇函数

FxfxafffffnN











1121

101

R

n

2

）．的通项公式为（

C.B.D.

an1ana2n

nnn

nnn



n



*

，



则数列



a

n

A.

【答案】C

【解析】∵是奇函数，∴，令

FxfxFFFf







ann

n

23

2





1111

1

1011

，

x



，

2222

2

令

x

1



1

，

Ff







01

，∴，∴

f0f12



af0f12

1

，

2



2

令∴，令∴

xx



1111



111111

n



，，

FfFf





11

，

nn

22



nnnn

22



11221111

ffffFF







nnnnnn

nn



220

，同理可得∵

，，∴

22



33

ff







nn

故选

C

n



1

n



∴

2

，

，

annN

）

221(



n

n

15.【福建省福州市闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试】

若数列，数列



ab

nn

满足：满足

n



1

a0

1

且

aannNn

nn





1

21,2

*

，则数列



b

n

的最大项为第______项．





8

baa

nnn



11



1





11

7

【答案】

6

【解析】由，得，则

a0

1

，且

aannNn

nn





1

21,2

*

aann

nn





1

212





aa221,aa231,aa241,...

213243

，

aann

nn





1

212



，累加得

annnn

n





23...1211



888



baannnn

nnn

111



1





111111

nnn



111



nn



21

2

22

2

，

2



nn



21



，由

{

bb

nn





1

bb

nn





1

，得

{







88

nnnn

22







1111



88

nnnn







1111

22

nn



1

32

，即

1619

n

，

33

nN,n6,

*

数列



b

n

的最大项为第项，故答案为

66

【方法总结】求通项常用的方法有：

（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；

（2）累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；

（）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将

3

aqappq

nn





1



0,1

aqappqamqam

nn





1nn1



0,1

利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出



ama

nn

的通项，进而得出的通项公式



.

16.201811

【广东省深圳市高级中学届高三月考】

已知等比数列



aq0,1

n

的公比为,且数列第11项的平方等于第6项,若存在正整数k使得



aaa

12



k

111

,则k的取值范围是________．

aaa

12

k

【答案】

0k31

【解析】∵数列



a

n

第项的平方等于第项，

116

2

即

aa，

116

∴

aqaq

11

2205

，

8

∴

aq1

1

15

，

aaaa



，。

111111



qq

kk

∴

121

k

11



qaqqaaa

k



1



121

k

∴

a

1

111



qq

kk

11



qaqq

。



1

k



1

∴，

aq

1

21

k





1

∴

aqaq

11

21230

k



。

解得

k130，

∴

0k31。

故k的取值范围是.



0,31

9

三、解答题：一共6道题，共70分。

17.【西安交大附中四诊理科数学】

数列

{}

aPyaP

nnnn

中，为抛物线的交点，过作抛物

aaaan

11



12



,,N

nnn



()

*

，

y4x

2

与直线

22

n



线的切线交直线于点

x1

QQb

nnn

，记的纵坐标为．

（Ⅰ）求

ab

nn

，的通项公式；

（Ⅱ）求数列）

{}

bS

nn

的前项和．（附：

n

123

2222



n

nnn

(1)(21)



6

【解析】：（Ⅰ）

aana

n

nn

1



11



n



22

,N

()

*

，由

易得，

a0

n

aaaa

nnnn

,

nnnn



1123212

naaaaannnnn



11143(1)

(2)

n

≥

，



1

a



2

，

nnn



11211

a

1

1

2

，故

a



1

n

nn

(1)



(n2)

≥

，经检验时也符合，

n1

故

a

1

n

的通项公式为

a

n



nn

(1)



(nN)

*

．

(x,y)

222

00

处切线斜率为），切线方程为

kyxxyx



yyy

（，

y0

0

()

00

y

0

000

2

与的交点的纵坐标为，

x1



2

y

2

0

y

0

故

b

21

a

n

的通项公式为

bnn

n



n

ann

2(1)



1)22(

(nN)

*

．

n

nnnn

（Ⅱ）

Skkkk

(1)222()



1111

n



2

kkkk



1111

2(1)21

kkkk





2(1)(1)

nnnnnnn

(1)(21)112(1)(2)



62132(1)

nn

nn

）

．

18.【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】

已知数列

{}

aS

1

nn

的前项和为，，

n

a

1

2

S

n

1

nn

2



anN

n

1,

*

（1）证明：数列为等差数列；

{}

n



1

n

S

n

（2）若数列{b，求数列{b

nnn

}满足}的前项和T.

b

n

n



SS

n

n

nn





1

2

【解析】（1）时，

n2

SnannnSSnn

nnnn



2222

()



1

即

(1)(1)

nSnSnn

22



nn



1

(n2)

同除以得

n(n1)

nn



1

nn

SSn

nn





1



1

1(2)

10



{}

n



1

S

n

为等差数列，首项为1，公差为1

n

nn



1

2

（2）由（1）知

SnS

nn



nn



1

n



211

b

n



nnnn

(1)22(1)2



nnn



1

111111



T

n

(1)()()1

2222322(1)2(1)2



1121

nnn

nnn



19.2019

【届江西鹰潭一中高三理上学期月考】

设数列（



a

n

的前项和为，已知．）

n

S

n

a1

1

，

aS

nn



1



（）证明：数列是等比数列；

1



n



2

nN

*

n



S

n

n



（）求数列

2



S

n

的前项和．

n

T

n

【分析】（1）利用，，推导出是等比数列；

aS

nn



1



（2）由已知条件推导出，由此利用错位相减法能求出数列

SS

n



2



S

aSS

n1n1n





nn



1

2



，由此能证明



n

nnn



1



n

S

n



2

n



1



S

n

的前项和．

n

T

n

n

nn



22

【解析】（1）由，及，得，

aSSSS

nnnnn



11



aSS

n1n1n





nn

SS

S

整理，得，，

nSnS

nn



1



21





nn



1

21



，又

1

nn



11

S



S

*

n



1

n



1

，得，（是以为首项，为公比的等比列（）由（）

n



2



Sn

n

2

nN

）．





n

12

21

n



n



Tn

n

1222322

0121

n



，①

21222122

Tnn

n



121



nn



，②

由②①，得



Tnnn

n



122222121





21

nnnn



12



n

12





【方法指导】错位相减法求和的适用条件及关注点

(1)适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数

列的前n项和可用此法来求．即求数列{a

nnnn

·b}的前n项和，其中{a}，{b}分别是等差数列和等比数列．

(2)关注点：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“S

nn

”与“qS”的表达式

时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S

nn

－qS”的表达式．

11

20.

已知数列



aab

nnn

为等差数列，的前和为，数列为等比数列，且

a2

1

，



n

S

n



ababababn

112233



nn

(1)24

n



2

对任意的恒成立．

nN



（Ⅰ）求数列



ab

nn

、的通项公式；



（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成

立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列



c

n

，满足，且存在正整数k，使成等比数列，

caccc

391007139

,,

k

若数列



c

n

的公差为d，求d的所有可能取值之和．

【分析】（Ⅰ）因为对任意的恒成立，所以取

ababababn

112233



nn

(1)24

n



2

nN



n1,2,3

，又知



ab

nn

为等差数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由为等比数列，，



得，设，则不等式等价于

，问题转化为求知

bb0b

nnn

的最小值，因，利用单调递增，求

21



n



b

n



1



1

b

n

2123

nn



b

n

的最小值，再根据求解；（Ⅲ）特殊情况时，成立，当d＞0时，

d0

cc38d2014c201438d(39)2014(39)

391139

，

cckdkd

k

，由等比中项知

2k39d53(k77)d0(k39)d53(k77)

ccc

391k

，化简得



2

，整理得：

kN



39



cddd



20143838(53)0530

5338



*

，由，所以，根据



1

5353d0

d



0

53



d



5338





N

*

，故，从而，所以公差的所有可能取值之和为．

53d1,2,19d52,51,34

d

137

53



d

【解析】（Ⅰ）法1：设数列



ab

nn

的公差为，数列的公比为．

d



q

因为

ababababnn

112233

N

nn

(1)24()

n



2

令分别得

n1,2,3

ab4abab20ababab68a2

1111221122331

，，，又

12



ab

11



2,2

所以即，







(2)(2)16



dq



3440

dd

2



ab

22



16





ab

33



48



(22)(2)48



dq

2



得，经检验符合题意，或





d

1



2

d

2



2

d2,q2



3





dq

2

,6

不合题意，舍去．



q

1



6



q

2



2

3

所以

anb

nn

2,2

n

．

（2）.由得，

a2n,

n

coscos(1)(1)

a

n



1





n



n



1

2

设

b

n



1

，则不等式等价于



-1

n1





111





b

n

.







11......11



aaa

21







n

a

n

因为，所以，数列单调递增

bbb

b



nnn

0

，且

n



2(1)

n

b

1



n

2123

nn



1

1

{b}

n

.

假设存在这样的实数，使得不等式都成立，则



（-1）

n1





b

n

对一切

nN



①当为奇数时，得；

②当为偶数时，得，即．

综上，，由是非零整数，可知存在满足条件．

（Ⅲ）易知，成立．

d=0

当d＞0时，

cc38d2014c201438d

3911

，

cckdkd

k

39

(39)2014(39)

，

cccdkd

391

22



k

(201438)2014(39)2014,





38(53)2014(39)20142014,

dkd



53d2014k39d532014







，

k39d53(k77)d0(k39)d53(k77)



2

，

kd39d53k53107(d53)k39d5377

，

13

kN



39537739(53)5339537753385338

dd



dddd



53535353

3939

*

，

又

Q





cddd

1



20143838(53)0530



d



0

，，

053d53

53d1,2,19d52,51,34

，，

所以公差的所有可能取值之和为．

d

137

21.已知数列

{}

aS{a}SS

nnnnn

的首项为1，为数列的前项和，

n

*



1



1

，其中，

q0

nN

()

Ⅰ若

a,a,aa{}

2323

成等差数列，求数列

a

n

的通项公式；

(Ⅱ)设双曲线

xe

2



y

2

222

a

2

1e2

的离心率为

n

，且．

2

，求

eee

12n

n

【解析】（Ⅰ）由已知，

SqSSqSaqan

nnnnnn

+++++

12121

=+=+=³

1,1,,1

两式相减得到

.

又由

S=qS+1

2121

得到

a=qa

，故

aqa

n1n

+

=

对所有都成立

n³1

.

所以，数列

{}

a

n

是首项为，公比为的等比数列

1q.

从而

aq

n

=

n

-

1

.

由

a，a，a+a2a=a+a+aa=2a,

2323322332

成等差数列，可得，所以，故.

q=2

所以

an

n

=ÎN

2()

n

-

1*

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

aq

n

=

n1

-

.

x

2

-=

y

2

所以双曲线

a

2

1

的离心率

eaq

nn

=+=+

11

22(1)

n

-

.

n

由

e=1+q=2

2

2

解得所以，

q=3

.

所以得：

eee

12n

222



n31

1

2



n

22{=2

设数列

aSSaS

nnn

}.=4+1

的前项和为已知，，

n

2n1

nN

*



.

（）求通项公式

I

a

n

；

（）求数列

II{

an

n

2

}.

的前项和

n

14

【解析】（1）由题意得：，则，





aaa

121



41



aaa

212



213

又当时，由，得，

n2

aaSSaaa

nnnnnnn



111



(21)(21)23

所以，数列.

{}

a

n

的通项公式为

anN

n



3,

n



1*

（2）设，

bn

n



|32|

n



1

nN

*

，

b2,b1

12

.

当时，由于，故.

n3

32

n



1



n

bnn

n



32,3

n



1

设数列

{}

bT

nn

的前项和为，则

n

T2,T3

12

.

当时，，

n3

T

9(13)(7)(2)3511



nn



22

nnnn

n



3

1322





2,1

n



所以，

T





n





3511

n



nn

2



2

,2,

nnN



*

.

15