【2022高考必备】2012

2023年11月30日发(作者：)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列小题 （精解精析）

一、选择题

120200-1

．(年高考数学课标Ⅱ卷理科)周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足

aaa

12n

a{0,1}(i1,2,)aa(i1,2,)

iimi

，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满

m

0-1

足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的序列，

aa(i1,2,)aaa

imi12n

mm

0-1

1

m

C(k)aa(k1,2,,m1)



iik

m

i1

是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足

50-1

1

C(k)(k1,2,3,4)

的序列是 ( )

5

CDAB

． ．． ．

10001110011101011011

【答案】

C

解析：由知，序列的周期为，由已知，，

aaa

imi

i

m

m5

1

5

C(k)aa,k1,2,3,4



iik

5

i1

对于选项，

A

11111

5

C(1)aa(aaaaaaaaaa)(10000)



ii11223344556

55555

i1

1112

5

C(2)aa(aaaaaaaaaa)(01010)



ii21324354657

，不满足；

5555

i1

对于选项，

B

1113

5

C(1)aa(aaaaaaaaaa)(10011)



ii11223344556

，不满足；

5555

i1

对于选项，

D

1112

5

C(1)aa(aaaaaaaaaa)(10001)



ii11223344556

，不满足；

5555

i1

故选：

C

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算

能力，是一道中档题．

aaa{a}

mnmnn

，，．(年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，若，

a2

1

22020

aaa22

k1k2k10

则 ( )

k

155

A2B3C4D5

． ． ． ．

【答案】

C

解析：在等式中，令，可得，，

aaaaaa2a

mnmnn1n1n

m1

2

a

n1

a

n

n1n

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，



a

n

22

a222

n

aaa221221

k1k2k10

a12212

k1



10k110

1212

k110510



，

22

k15

，则，解得．

k15k4

故选：．

C

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能

力，属于中等题．

32020

．(年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有

一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一

()99

层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中

99

层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石 ( )

729()

( )

A3699B3474C3402D3339

．块 ．块 ．块 ．块

【答案】

C

解析：设第环天石心块数为，第一层共有环，

nn

a

n

则是以为首项，为公差的等差数列，，

{a}

n

99

a9(n1)99n

n

设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分

S

n

{a}

n

n

别为，因为下层比中层多块，

S,SS,SS

n2nn3n2n

729

所以，

SSSS729

3n2n2nn

即

3n(927n)2n(918n)2n(918n)n(99n)

729

2222

即，解得，

9n729

2

n9

所以．

SS3402

3n27

故选：

C

【点晴】本题主要考查等差数列前项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．

n

42019

．(年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列



a

n

的前项和为，且，

415

a3a4a

531

则 ( )

a

3

A16B8C4D2

． ． ． ．

【答案】

C

27(9927)

2



aaqaqaq15,

1111

23



a1,

1

q

【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，



a

n



42



q2

aq3aq4a



111



aaq4

31

2

，故选．

C

另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅

S=15a3a4a

4531

1,2,4,8,16,

速得出．

a4

3

【点评】在数列相关问题中，用基本量的通性通法是最重要的，当然适当积累一些常见数列，对解题

大有裨益．

5．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则

S{a}a5

nn5

n

S0

4

( )

A． B．

a2n5a3n10

nn

C． D．

S2n8n

n

2

Sn2n

n

1

2

2

【答案】A



S4a6d0

41



a3

1





解析：，

aa4d5

d2



15



所以，故选A．

aa(n1)d32(n1)2n5,Sn4n

n1n

(aa)n

1n

2

2

6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则

Sa2a

n15



a

n

n

3SSS

324

( )

A． B． C． D．

12

1010

12

【答案】B

解析：∵为等差数列的前项和，，，∴

S

n



a

n

n

3SSS

324

a2

1

3243



把，代入得∴，，

a2

1

d3

a24310

5



33adaad4ad



1111

22



故选B．

7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家

学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题

的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接

222

012

下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为

222

NN100N

2

001

的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )

A． B． C． D．

440330220110

【答案】A

【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力．

不妨设(其中)

1121241221222





n1tm

0tn

则有,因为,所以

Nt1

nn1



N100n13

2

n1t1m

由等比数列的前项和公式可得

n

2n2212

n

因为,所以

n13

2n2

所以即,因为

22n22n22210

n1nn1nt1

mn1n

所以,故

22n22

mn1

所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意

mn1n13t3t3N95

n23

t1

当时,,故满足题意的的最小值为．

t4n440N440

解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出．

mn1

解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的

N

2,2,2,2,2,2,

001012

n

单独为一组,则,从而数列的前项的和为:

nn1(n1)n2



N

N

22

n1201n1



2121212222n32









N1N

nn1nn1



22

tt

所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即

N

2

t

2n3n23

又,所以,所以,所以,所以

N100n13t4



n1n2

100

n2313

t

2

当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合

t4n13100N105N

101,102,103,104,105

题意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性

t4

101,102,103,104,105

当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A．

t5n29435N465N440

事实上验证:或或或或或





n29n29n29n29n29n29

N435N436N437N438N439N440





n29

只有成立．



N440



点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建的不等式限定的可能值,进而求

t

n

出最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作．

N

解法三:检验法

由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验

选项D:若,由,知第项排在第14行,第19个

N110110

13131



91110

2

S213221221616221

N



141914191015

由是奇数知不能写成整数幂;

221

S

N

2

选项C:若,由知,第项排在第21行,第10个

N220220

1015

20201



210220

2

S2202212223

N



21102110

是大于1的奇数,不能写成整数幂;

2

选项B,若,由知第项排在第26行,第个

N3303305

25251



325330

2

S22522124421

N



2652624

,同理,不能写成整数幂;

2

选项A时,当时,由,可解出

N440n29

nn1n1n2



440

22

21290123430

所以这前和为:,符合题意,故选A．

440

212121222222

解法四:直接法



由能写成的整数幂可知,,

S2n22122n3

N



n1kn1k

2

2n30

k

klogn3Z

2



,且由知,故满足条件的的最小值为,得,此时

N100n1329k5

n

N5440

29291



．

2

解法五:二进制转化法

按照上面形式重新排列后,第层:,的和为

n

1,2,4,

2

n1

211111

n

(2)

n个1

把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐)

第1层: 1

第2层: 11

第3层: 111

第层: 1111

n

由于的数幂的二进制数为:,前层的和再加多少可以写成的整数幂?

22

210000

n

(2)

n

n个0

为方便相加,首先,每层都加,则总共加了,得:

1

n

第1层: 10

第2层: 100

第3层: 1000

第层: 1000

n

此时层总的和为:,仍然不是的整数幂,再加上即可!

n

11110

22

n个1

所以在前层总和的基础上,再加上可使和成为的整数幂

n

n2

2

k

设第层的前个数的和为,即

n1n2

k

2n30

后面的方法同“解法四”．

【考点】等差数列、等比数列的求和．

【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观

察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和．另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个

数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断．

8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则

S{a}S48{a}

nn6n

n

aa24

45

的公差为 ( )

A． B． C． D．

124

【答案】 C

【解析】设公差为,,

8

d

aaa3da4d2a7d24

45111

S6ad6a15d48

611

秒杀析:因为解,即,则



2a7d24

1

65

,

解得,故选C． ,联立

d4



6a15d48

2



1

S3(aa)48

634

6(aa)

16

2

aa16

34

(aa)(aa)24168aa2d8

453453

,即,解得,故选C．

d4

【考点】等差数列的基本量求解

【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若

{a}

n

mnpq

,则．

aaaa

mnpq

9．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则



aa

nn

1

0

a,a,a

236

前项的和为 ( )

6

A． B． C． D．

24

338

【答案】 A

2

【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以



a

n

a1

1

d

a,a,a

236

aaa

326



a2dada5d12d1d15d

111

22

2

，即，整理可得，因为，

d2d0

d0

所以，所以，故选A．

d2

S6ad6115224

61

65

2

【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算

【点评】（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a，a，d，n，S，知其中三个就能求

1nn

另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代

换作用，而a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

1

10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红

光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻

两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( )

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

【答案】 B

【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和，以考查考生的运算能力为主目

aS

nn

n

的．

【解析】解法一：常规解法

一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即

S381

7

a1q

1



n

1q

q2

，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得

a

1

n

Sq1

n



S381

7

a12

1



n

12

a3

1

．

解法二：边界效应

等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴ ．

aS

n1n

aS381a2.9a3

8711

【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必

有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所

占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难

度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，

11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为



aa

nn

2m

m

0,m

1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有

k≤2mm4

aa,a

1,2,k

( )

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个

【答案】C

【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.

a0

1

a1

8

0 1 1 1

0

0 1 1

1 0 1

1

0 1 1 0

0 0 1

0 1

1 1 0

1 0

1

1 0

0 1

1 0

1 1 0

0 1 0

1 0

0 1

1 0

1 0

1

1

0

12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列



a

n

前9项的和为27，，则 ( )

a=8

10

a=

100

(A)100(B)99(C)98(D)97

【答案】C

9aa



19

92a

5

9a27S

59

，故，而，因此公【解析】由等差数列性质可知：

a3a8

510

22

差∴．故选C．

d1

aa

105

aa90d98

10010

105

13．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，，则



a

n

a3aaa21aaa

1135357

( )

A．21 B．42 C．63 D．84

【答案】B

2

42

24

解析：设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，

q

aaqaq21

111

a3

1

qq60

q2

2

所以，故选B．

aaa(aaa)q42

357135

考点：等比数列通项公式和性质．

14．(2013高考数学新课标2理科)等比数列

{}

aSa

nn1

的前项和为，已知，则等

n

Sa10a,a9

3215

于 ( )

A． B．－ C． D．－

1111

3399

【答案】C

解析：设等比数列的公比为，由得，即

{a}Sa10a

n321

q

aaaa10a

12321

1

． ，又，所以

9

a9a,q9aaq9

3151

24

a

1

考点：（1）6．3．1等比数列的基本量的计算；（2）6．3．4等比数列的前n项和及综合应用

难度：A

备注：高频考点

ABCSABCa,b,c

nnnnnnnnnn

的面积为，15．(2013高考数学新课标1理科)设的三边长分别为，n=1,2,3,…

若，，，，则 ( )

bcaa

11

bc2a

111

n1n

bc

n1n1

A．为递减数列 B．为递增数列

{S}{S}

nn

caba

nnnn

,

22

C．为递增数列，为递减数列

{S}{S}

2n12n

D．为递减数列，为递增数列

{S}{S}

2n12n

【答案】B

解析: 因为，，，所以，

aac

n1nn1

bc

n1n1

cabaca

nnnnnn

aab

n1n1

222



ba

nn

11

(bc)a(bc)a

nnnnn1

2

22

1

(bc2a)c2a

nn1n11

，注意到，所以．

bc2a

111

bc2ab

nn1n1

2

于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值．

ABCBCabc2a

nnnnn1nn1

因为，

bc

n1n1

caba

nnnn

1



(bc)

nn

22

2

1

2

所以，当时，有，即，于是的边

bc()(bc)

nn11

n1

n

bc0bc

nnnn

ABC

nnn

BCh

nnn

的高随增大而增大，于是其面积为递增数列．

n

S|BC|hah

nnnn1n

11

22

考点：（１）6．1．1数列的概念及归纳简单数列的通项公式；（２）6．3．1等比数列的基本量的计算；

（３）12．5．1数列极限．

难度：C

16．(2013高考数学新课标1理科)设等差数列{a}的前n项和为S，＝－2，＝0，＝3，则

nn

SSS

m1mm1

m

＝ ( )

A．3 D．6 B．4 C．5

【答案】Ｃ

解析：由题意知==0，∴=－=－（-）=－2，

SaaSS

m1mmm1

m(aa)

1m

2

aSSaaa

m1m1mm1mm1

= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C．

d2m

m

考点: （1）6．2．4等差数列的前n项和及综合应用；（2）13．1．1函数与方程思想．

难度：Ｂ

备注：高频考点

17．(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，，，则 ( )

{a}

n

aa2

47

aa8

56

aa

110

A． B． C． D．

7

【答案】D

解析：∵①，由等比数列的性质可得，②

aa2

47

aaaa8

5647

①、②联立方程组解得：=4，=-2或=-2，=4

aa

44

aa

77

当=4，=-2时，q=，

a

4

a

7

3



5



1

2

∴=-8，=1，

a

1

a

10

∴+=-7

a

1

a

10

当=-2，=4时，q=-2，则=-8，=1

aa

41

aa

710

3

∴+=-7

a

1

a

10

考点：（1）6．3．1等比数列的基本量的计算；（2）6．3．3等比数列的性质及应用．

难度：B

备注：高频考点

二、填空题

182019}n

．(年高考数学课标Ⅲ卷理科)记的前项和，

S

n

为等差数列，则

{a

n

a≠0，a3a

121

___________

．

【答案】．

4

S

10



S

5

109

d10a

S

10

100a

1

2



4

． 【解析】因，所以，即，所以

a3aad3a

21

11

2ad

1

54

S

5

25a

1

5ad

1

2

1

【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答

案．

19．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等比数列的前项和．若，，则

S{a}

nn

n

a

1

1

2

aa

46

3

S

5

．

【答案】

121

3

1

(13)

5

121

1

2265

解析：由，得，所以，又因为，所以，．

aaaqaq

4611

aq1

1

a

1

q3

S

5

3

3

133

20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则 ．

SS2a1S

nnn6



a

n

n

【答案】

63

解析：为数列的前项和．若，①

S

n



a

n

n

S2a1

nn

当时，，解得，

n1

a2a1a1

111

当时，，②，

n2

S2a1

n1n1

由①﹣②可得，

a2a2a

nnn1

∴，

a2an2

nn1



∴是以为首项，以2为公比的等比数列，



a

n

a1

1

∴．

S63

6

112



6

12

21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设等比数列满足,，则 ．



a

n

aa1aa3

1213

a

4

【答案】

8



aqa1

11



a1

1

【解析】设等比数列的公比为，则依题意有，解得



a

n

q



2

q2

aaq3





11

所以．

aaq128

41



3

3

【考点】等比数列的通项公式

【点评】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等

比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分

类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)等差数列的前项和为，，，则



a

n

n

S

n

a3S10

34

1



．



S

k1

k

2n

【答案】

n1

【解析】设等差数列的首项为，公差为，

a

1

d

n



a2d3

1



a1

1



由题意有： ，解得 ，





43

d1

4ad10

1





2

数列的前n项和，

Snadn11

n1

nn1nn1nn1



222

1211



2

裂项有：，据此：



Skk1kk1

k





1111112n1



21......21

。







223Snn1n1n1





k1

k

【考点】 等差数列前n项和公式；裂项求和。

n

【点评】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a

1nn

，a，d，n，S，知其中三个就能求另

外两个，体现了用方程的思想解决问题。学&科&网数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量

代换作用，而a

1

和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和

时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有

前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。

【知识拓展】本题不难，属于考查基础概念，但有一部分考生会丢掉这个条件，此处属于易错

nN



点．

23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设等比数列满足，，则的最大值

aa10aa5

1324

aa...a

12n

为 ．

【答案】64

n1

【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．



a

n

aaq

n1

a

1

q



a8

1

2



aaq10



aa10

13



11



∴，解得：．







1

3

q



aqaq5

11



aa5

24





2

故，∴

a

n





1



2

n4

aa...a

12n



2



111



222



32...n4nn7n

11749

2224

2















当或时，取到最小值，此时取到最大值．

n36

4

1749







1

n







224







2



2

1749









n

224







2

6

所以的最大值为64．

aa...a

12n

aSSSS

n1nn1nn

，24．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，则________．



a

n

n

a1

1

【答案】



1

n



1

11

1

，故数列解析：由已知得，两边同时除以，得



aSSSS

n1n1nn1n

SS

n1n

SS

n1n



S

n

是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

11

考点：等差数列和递推关系．

25．(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最

{a}S

nn

S0,S25nS

1015n

小值为________．

【答案】－49

解析：由已知解得

d,a3,

1

1

1(n1)n

S

n

S

n

n

2

1

3

1

n(n1)n10n

32

'n)n(3n20)f(

，

nSn(nad)f(n)

n1

23

3

由函数的单调性知，∴的最小值为－49．

f(6)48,f(7)49

nS

n

考点：（1）6．2．2等差数列的基本量的计算；（2）6．2．4等差数列的前n项和及综合应用

（3）3．2．4导数与函数最值

难度： C

备注：高频考点

26．(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是

aaa

nnn

Sa

nn

=______．

【答案】

(2)

n1

21

33

21

a

1

，解得=1， 解析:当=1时，==

aaS

111

33

2122

21

当≥2时，==－()=，即=，

n

aSSa2a

nnn1nn1

aaa

nnn1

a

n1

3333

33

n

∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．

aa

nn

(2)

等比数列的基本量的计算．

难度：Ｂ

备注：高频考点、易错题

n

27．(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为

{a}{a}

nn

a(1)a2n1

n1n

n1

考点:（1）6．1．3已知an与Sn的关系求通项公式an；（2）6．3．2等比数列的定义及判定；（3）6．3．1

【答案】1830

n

解析：由得，

a(1)a2n1

n1n

aa4k3

2k2k1

……①

a+a4k1

2k12k

……②,

再由②—①得 ……③

aa2

2k12k1

由①得

SSaaaaaa

偶奇



21436059

1591171770

(1117)30

2

由③得,

Saaaaaa

奇



31755959

21530

∴．

SSSS-S2S17702301830

60

奇偶偶奇奇



考点：（1）6．2．4等差数列的前n项和及综合应用；（2）6．4．1分组转化与倒序相加求和．

难度：C

备注：高频考点