2024年1月12日发(作者：)

如何求解一阶微分方程组

一阶微分方程的一般形式：y'+p(x)y=q(x);

解法：积分常数变易法。

先求齐次方程 y'+p(x)y=0的通解。分离变量得 dy/y=-p(x)dx；

积分之得：lny=-∫p(x)dx+lnc；故齐次方程的通解为：y=ce^(-∫p(x)dx);

将c换成x的函数u(x)，得：y=ue^(-∫p(x)dx)............①；

取导数得 y'=u'e^(-∫p(x)dx-ue^(-∫p(x)dx)•p(x)............②;

将①②代入原式得：u'e^(-∫p(x)dx-ue^(-∫p(x)dx)•p(x)+p(x)ue^(-∫p(x)dx=q(x);

化简(消去同类项)得：u'e^(-∫p(x)dx=q(x)；

故u'=du/dx=q(x)e^(∫p(x)dx); ∴u=∫q(x)e^[(∫p(x)dx)dx];

代入①式即得原方程的通解为: y=e^(-∫p(x)dx)•∫q(x)e^[(∫p(x)dx)]dx;

一阶线性微分方程解法 ：

一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)

先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0

解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程

解得u=∫Q(x) e∫P(x)dxdx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］

即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx

∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解。