2024年1月12日发(作者：)
第20卷第12期2020年12月黑龙江工业学院学报JOURNAL
OF
HEILONGJIANG
UNIVERSITY
OF
TECHNOLOGYVol.
20
No.
12Dec.
2020文章编号：2096
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3874(2020)12
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0141
-04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的
应用领域。分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace变换法、变量变换法
和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175
文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不
例:求方程y
+y
=
1
-」一的通解(y(0)
=0,
sinx可或缺的一个组成部分⑴。例如,在反映客观现
实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存
在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过
y(0)
=1)解:齐次方程为：y"
+y
=0,其特征方程为：
A2
+
I
=
o,所以齐次方程的通解为:y(X)
求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。因此,
常微分方程是解决实际问题的重要工具。其中，
形如y"
+py'
+qy
=/(%)(其中p,g为常数)的方程
=CiSilEC
-c2cosx,则
Y
(x)
=qcosx
-
c2sim；o
因为
K(0)
=1』(0)
=1,所以
ci
=1/2=0,于是
y'+y
=0的一个特解为i = sin%。因为/(%)在 称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。众所周 知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有 % =0处不连续，即取％。=乎,所以所求方程特解 不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶 为:y* = Jlsim;-S1IEC -法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。同时,分析了各个二阶常系 sinxln I sinx I + (兀- —j cosx,故方程通解为： y = crsinx + c2cosx + 1 - sinx - sinxln I sinx I + (兀一号)cosx = -号cosx + 1 + xcosx - siiEcln I sim; I o 1.2算子法求解方程数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式 1」积分法求解方程y +py +q ，其中为常数，引入算子£ 设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个 二 二",贝!j有：# = ^ = Dy,y 二箸二巧,于解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) = cp (:x - t) dt。而是方程可化为：。彷+ pDy + qy =f(x)，即：(D? + y = Y(x) +*&)是式它的通解。pD +g)y =f(x)，令p(D) =lf +pD +q 称为算子作者简介:蔺琳，硕士，副教授，大连财经学院。研究方向:高等数学、运筹学教育理论与实践。基金项目：辽宁省教育科学“十三五”规划2018年度课题立项“基于创新型人才培养视域下通识教育实践课堂建设的研究与探索”(项目编号:JG18DB021)o141 第12期黑龙江工业学院学报2020 年多项式，所以p(D)y =/(%),则特解为y* (x)例:求方程y" -3yz +2y =2xex的特解。解:设算子D =£，则有：(£»2 - 3D +2)y = 2xe所以原方程的特解是：y” (x) = (D-l)(D-2)2xex =2eo x((-T 1 X2 ~ X)1.3降阶法求解方程对于某些特殊的高阶微分方程，通过适当的 变量代换，化为低阶微分方程，当该低阶微分方程 可解时，即原方程可解。降阶法首先需要求出特 征方程的特征根;然后，利用积分因子乘以微分方 程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化 为一阶微分形式;最后,将一阶微分形式两边同时 积分，求解方程即可得到通解。利用降阶法，可以 求得微分方程的_个特解或通解。例:求方程y" ~3y' +2y =2xex的特解。解:由原方程得：(y"-2y') - (yz -2y) = 2xex, 设 t = y' - 2y,即得:t' - t = 2xe ,所以 t =eldx(j2xexel ~dxdx) = x e ,接着解方程 y - 2y =x e ,即得:y= - (x2 +2x')ex -2exo1.4升阶法求解方程设/(%) = amxm + + …+ 如％ + 两，求方程y + py + qy =f(x)的一个特解。利用对原方 程的等式两边连续求m次导数的方法进行求解y +py + qy = mamxm~l + ••• +2a2x + ,『(皿+1) +戸『(皿)+ qy®"〉= m(m - 1) •••2amx + (m-1)! a”」，贝!| y(m+2) + py(m + 1) + gy® = m! %,令严=>! am,y(m+2) =yZ =0,产宀可 通过 + + pyE + qyg" = m(m - 1) '"2am% + (m-1)! 求岀来，一直到能求岀特解*为止。例:求微分方程y + 6y -7y = ex (x + 1)的 特解。解:由题可知，先去掉才,设X二“(兌疋,将其 代入题中方程得：* + 8“二兀+ 1,对方程等式两边 142求导，得:M + 8u = 1,令 u = U 二 0,代入 U + 8u =x + 1 中，得：* + 8z/二兀 + 1,因此 it 二 + (兀+*)，所以U二磊/ +右兀，故特解为:y * =e昇[i6 1 x2 + 盘)7 。1.5拉普拉斯变换法求解方程拉普拉斯变换求解微分方程包含两个步骤: 首先求解微分方程的的未知量的拉普拉斯变换 式;其次通过变换式求出相应的未知量，即微分方 程与代数方程直接的变换运算，所以也可考虑用 这种方法来解微分方程。例:求微分方程y - 2y" + y = xe ( y ( 0 ) =y (0) =0)的特解。解:对方程两边进行Laplace变换，得Z[y"- 2y" + y ] = L [ xe ]，所以 X (s') ( s2 - 2s + 1)=厂务，因为[代“]=,而且L($ -1) (s-a)[訶卜盘产所以可討卜詁尹则 特解为:y二2 *訂h二迈'o1.6化为方程组法求解方程二阶常系数非齐次线性常微分方程的一般形 式为y+py+qy二/(%),(其中为实数)。化 为方程组法:令x二y,% =y + 2~y,则非齐次线性(_p_1 )微分方程转化为，2、3 )+-fr;(_p_，其中H2 =2是J -对称矩2丿阵。通过求J-对称矩阵H2的特征值和特征向 量,仏的特征方程为包-Al =X2+pX +q,解岀的特征值儿=Z于顶,入2—p — fp-iq2 第12期二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法2020 年(1)当p2_4g/0时，入-入2是两个不等单根, 则禺的两个线性无关的特征向量是(2)当p? -4g =0时，入-入2是两个相等实数 根，则h2的一个线性无关的特征向量是％ =心，而禺具有根向量％ =例:求微分方程y - 2yz + y = xe (y (0 ) =y (0) =0)的特解。解：令y' = 7i,则题中方程可化为:的一阶非齐次方程组，而它—y +2yt +%2'ex,对应的齐次方程组就为:兽八，齐次方y+2儿程组的系数矩阵为:0 1]A = L -1 21，它的特征方程为入E-4I二 A — 1 ：11 A -2二0,入1二入2二1,所以齐次方程组应该有这样的解:y二(m + r12x) ex二(◎+尬 U 将它俩代入齐次方程组得：yXh和ye",7i1 +x.7i-x .令非齐次方程X组的特解为：一 1Lyi=Ci (%)1 —X'几叫ry“ =xCi(_皿 (x)e* +( (1— -x) C2(^)€x将—x 它代 入非齐 次方程 组得:r%Ct (%) + (1 -x)C2 (x)二0(1 +x) Ct (x) -xC2 (x) =x2Ct'(x) =yx3 ~^x，则特解为y = %C2(«)=-亍"+ (1 -x) ( (1.7迭代法求解方程引入微分算子与微分算子多项式，令D=扌, axin in in — 1o° =l,Dn =—,P(D) =a0 — + ai + …+ ax ax ax5“肯+ %则n阶线性微分方程为:Qo豊+ dn~ly dy r,、«i 忑=■ + ••• +%-1 冻+% =•/(%)。定理 1 ：P(D) (e%) =e^P(D +Qy,£»”("&) =""(D + 入)"y, (n = 0,1,2,…)。定理 2：设 Q(D) = b0Dn + W + …+ b—DQg是％的m次多项式，则常系数微分方 程y = 0&) +Q(劝的特解为:y = g) +Q(D) Q(O +0(D)0&) +••• +Q”(D)0&)。方程 y = 0&) +Q(D)y的特解可表示为一下的迭代形 式:y =Ai +A2 + ••• +Ao其中缶=(j>(x),A2=Q(D)Al,A3 =Q(D)A2, …，久=Q(D)A”_i,这个迭代过程可一直下去直到 某个久=0为止。例:求微分方程y" -2yZ +3y=x + l的特解。解:如上述迭代法可将方程化为:y=y(x + D+(yy-yy"),i 9 i则：&) =y(x+l),C»(£>) =yD-yD2,4= 0(%) = —1 (x + l'),A2=Q(D')Al =—2 (Tx+T)_T(TX+T)=QCd)a2 =0,所以原方程的特解为:y =卜+1_。1. 8各个特殊解法的利弊分析算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特 解的一种有效手段,微分算子法不失为一种好方 法，简单易用，计算量小。积分法也具有一般性， 扩大了可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的 范围,同降阶法一样，在/&)为％的多项式、指数 函数、正弦函数和余弦函数的某种组合时,也可利 用迭加原理方法求解。降阶法的基本思想就是通 过计算一阶方程，将高阶方程的运算化为低阶方 程的运算。这样既简化了计算过程,又不易出错。 降阶法的优点就是使计算简单、准确性高。降阶 143 第12期黑龙江工业学院学报2020 年法求解更适用于高阶变低阶或者低阶变高阶的微 分方程。当/(%)为％的多项式、指数函数、正弦函 数和余弦函数的某种组合时，利用迭加原理方法 论，每一种方法都有它的好处与局限，应当视情况 而定，不同的情况使用不同的方法。求解。拉普拉斯变换较微分方程则必须存在于/ (0)与_/(0)已知的情况。对于阶数很大时，某些 参考文献[1] 张纪强.常微分方程的数值解析的实践与应用[J].宁夏师范学院学报,2020,41(04) ：101 -106.[2] 陈尹刚.数学建模在常微分方程中的应用[J].湖 微分方程数值解所产生的线性方程来说,利用迭 代法求解则更为合适。不同的情况使用不同的方 法，每一种方法都有它的好处与局限，应当视情况 而定。2结论北开放职业学院学报,2019,32(06) ：103 -104 + 111.[3] 简林祥，李德新,陈日清.二阶线性常系数非齐次 微分方程特解简便求法[J] •高教学刊,2018(07) ：95 -97.[4] 彭长文，黄华伟.二阶常系数非齐次线性微分方程 本文针对二阶常系数非齐次线性微分方程， 详细的介绍了除待定系数法、常数变易法之外的 的解法探讨[J].数学学习与研究,2016(05) ：99 -100.[5] 王春草.常数变易法求二阶常系数线性微分方程 有迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、化为方程组法等解法。 而且,对比分 的特解[J].杨凌职业技术学院学报,2009,8(04) ：22 -23.析了众多解法的优缺点及适用条件，从而得出结 On Special Solution of Second - order Constant Coefficient Inhomogeneous Linear Differential EquationLin Lin(Dalian University of Finance and Economics, Dalian, Liaoning 116622, China)Abstract: In order to analyze the special solution of second - order constant coefficient non - homogeneous linear differential equations, broaden the application fields of non - homogeneous linear differential equations, the paper analyzes and compares the advantages and disadvantages , the applicable conditions of the iterative method, the order - up method, the order - reduction method, the operator method, the integral method, the Laplace transformation method, the variable transformation method and the equation group words: ordinary differential equation ； inhomogeneous; special solutions; analysis; advantages and disadvantagesClass No. ：O175 Document Mark: A(责任编辑:王占峰)144
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