2024年1月14日发(作者：)

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课时分层作业(七) 二项式定理

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．设S＝(x－1)＋3(x－1)＋3(x－1)＋1，则S等于( )

A．(x－1)B．(x－2)

C．x

【解析】S＝[(x－1)＋1]＝x.

【答案】 C

3333332D．(x＋1)

312．已知x－的展开式的第4项等于5，则x等于( )

x1A.

7C．7

37

1B．－

7D．－7

1134【解析】T4＝C7x－＝5，则x＝－.

7x【答案】 B

3．若对于任意实数x，有x＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)＋a3(x－2)，则a2的值为( )

A．3

C．9

332323B．6

D．12

【解析】x＝[2＋(x－2)]，a2＝C3×2＝6.

【答案】 B

4．使3x＋A．4

C．6

1nxx(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )

B．5

D．7

5n－r1rrn－r25rn－r【解析】Tr＋1＝Cn(3x)，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，＝Cn3x2xxn＝5时成立．

【答案】 B

125．(x＋2)2－1的展开式的常数项是( )

xA．－3

C．2

B．－2

D．3

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1【解析】 二项式2－1展开式的通项为：Tr＋1＝

xr15－rrr2r－10rC52·(－1)＝C5·x·(－1).

5x当2r－10＝－2，即r＝4时，有x·C5x·(－1)＝C5×(－1)＝5；

当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C5x·(－1)＝－2.

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选 D．

【答案】 D

二、填空题

11n6．若x＋的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2的系数为50524－2444xx________．

【解析】 由题意知，Cn＝Cn，∴n＝8.

∴Tr＋1＝C8·xr8－r2611rr8－2r5·＝C8·x，当8－2r＝－2时，r＝5，∴2的系数为C8＝56.

xx【答案】 56

7．设二项式x－是________．

13－6－r2rr2r6－rr4422【解析】Tr＋1＝C6x(－ax)＝C6(－a)·x，B＝C6(－a)，A＝C6(－a).∵B＝4A，a63B．若B＝4A，则a的值(a>0)的展开式中x的系数为A，常数项为

xa>0，

∴a＝2.

【答案】 2

8．91被100除所得的余数为________．

【解析】 法一：91＝(100－9)＝C92·100－C92·100·9＋C92·100·9－…＋C929，

展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．

∵9＝(10－1)＝C92·10－C92·10＋…＋C92·10－C92·10＋1，

前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故91被100除可得余数为81.

法二：91＝(90＋1)＝C92·90＋C92·90＋…＋C92·90＋C92·90＋C92.

前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝

8 281，显然8 281除以100所得余数为81.

【答案】 81

三、解答题

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929229292922929292

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9．化简：S＝1－2Cn＋4Cn－8Cn＋…＋(－2)Cn(n∈N＋)．

【解】 将S的表达式改写为：S＝Cn＋(－2)Cn＋(－2)Cn＋(－2)Cn＋…＋(－2)Cn＝[1＋(－2)]＝(－1).

1，n为偶数时，∴S＝(－1)＝－1，n为奇数时.nnn012233123nnnn

2x－1610．在的展开式中，求：

x(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x的项．

【解】 (1)第3项的二项式系数为C6＝15，

22－1242又T3＝C(2x)＝2·C6x，

x264所以第3项的系数为2C6＝240.

(2)Tr＋1＝C6(2x)242r6－r－1rr6－rr3－r＝(－1)2C6x，令3－r＝2，得r＝1.

x2所以含x的项为第2项，且T2＝－192x.

[能力提升练]

1．若Cnx＋Cnx＋…＋Cnx能被7整除，则x，n的值可能为( )

A．x＝4，n＝3

C．x＝5，n＝4

122122nnB．x＝4，n＝4

D．x＝6，n＝5

nnn【解析】 Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．

【答案】 C

x＋1n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(12．已知二项式3x－x)中x项的系数为( )

A．－19 B．19 C．20 D．－20

n2n5r－11x＋26n5×3nrn－rrr【解析】的通项公式为T·＝C，由题意知－r＋1＝Cn(x)nx3326xx2＝0，得n＝5，则所求式子中的x项的系数为C2＋C3＋C4＋C5＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.

【答案】 C

222213n3．对于二项式＋x(n∈N＋)，有以下四种判断：

x①存在n∈N＋，展开式中有常数项；②对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；③对任意n∈N- 3 - / 4

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＋，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N＋，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．

13nr4r－n【解析】 二项式＋x的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cnx，由通项公式可知，当n＝x4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项．

【答案】 ①④

x14．求＋＋2的展开式的常数项．

2xx15x150x151x1【解】 法一：由二项式定理得＋＋2＝＋＋2＝C5·＋＋C5·＋2x2x2x2x45x13x12x122334455·2＋C5·＋·(2)＋C5·＋·(2)＋C5·＋·(2)＋C5·(2).

2x2x2x其中为常数项的有：

14121x12C5＋·2中的第3项：C5C4··2；

2x21x123331355C5·＋·(2)中的第2项：C5C2··(2)；展开式的最后一项：C5·(2).

22x1632121231355综上可知，常数项为C5C4··2＋C5C2··(2)＋C5·(2)＝.

222x2＋22x＋25法二：原式＝

2x＝1125105·[(x＋2)]＝5·(x＋2).

32x32x105求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋2)的展开式中含x的项的系数，即C10·2632C·(2)，所以所求的常数项为＝.

322510555

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