2024年4月13日发(作者：)

备注：证明题每章都是二选一，计算题在第五章

第二章

1.证明点集

F

为闭集的充要条件是

FF

.

证明：因为

FFF

，若

F

为闭集，则

F

'

F

所以

FFFFFFF

故

FF

反过来，若

FFFF

，则必有

F

'

F

，从而

F

为闭集.

2.设

f

x

是

,

上的实值连续函数，证明：对于任意常数

a

，

x;f

x

a

都是开集，

'

'

'



x;f

x

a

都是闭集.

证明：任取常数

a

，若

x

0

x;f

x

a

，则

f

x

0

a

，由于

f

x

连续，

a,x

0

0

，

使

xNx

0

,

a,x

0

x;f

x

a

，这表明

x;f

x

a

是开集.

任取常数

a

，若

x

n

x;f

x

a

，且

x

n

x

0

，则从

f

x

n

a

和

f

x

连续知

f

x

0

limf

x

n

a

，故

x

0

x;f

x

a

n













这表明

x;f

x

ax;f

x

a

.，故

x;f

x

a

是闭集.



'



第三章

68页

3.证明对任意可测集合

A

和

B

都有

m

AB

m

AB

m

A

m

B

（*）

证明：若

m

AB



，则

ABA,B

m(AB),m(A),m(B)

m(AB)m(AB)m(A)m(B)

成立.

若

m

AB



则（*）等价于

m

AB

m

A

m

B

m

AB

注意到

ABA

BA

,A

BA



且

A,B

可测

BA

可测

m

AB

m

A

m

BA

1

A

可测

m

B

m

AB

m

A

c

B

m

AB

m

BA

m(AB)m(BA)m(B)m(AB)

m

AB

m

A

m

B

m

AB

9、设

ER

n

，那么

E

可测当且仅当对任意正数

，存在开集

GE

及闭集

FE

使得

m(GF)

。

证明：

若

E

可测，则

mE

*

m

。

E

由外测度的定义，

mG|G|

，从而对任意正数

，存在开集

m

*

Einf{G|G|，;GE为开集

，此时

}

GE

，使得

mGmE

2

。

另一方面，由可测集的构造知，对可测集

E

，存在

F

型集合

AA

k

，其中

A

k

为

k1

闭集，使得

AE,mEmA

。设

F

n

A

k

，则

F

n

为闭集，且

limmF

n

mAmE

，

k1

n

n

从而有充分大的

n

0

，使得

mEmF

n

0

2

，不妨令

F

n

0

F

。那么

m(GF)mGmF(mGmE)(mEmF)

2

2

。

特别取

1

，则存在开集族

{G

n

}

与闭集族

{F

n

}

，使得

F

n

EG

n

，且

n



1

m(G

n

F

n

)

。令

G

G

n

为

G

型集，

F

F

n

为

F

型集，则

G,F

均可测，

n

n1n1

1

，由

n

的任意性，

m(EF)0

。即

E

可

n

看成可测集与零测度集的并，从而

E

为可测集。

且

m(EF)m(GF)m(G

n

F

n

)

2