2024年3月22日发(作者：)

Bezier曲线原理及实现代码（c++）

一、原理：

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他

运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年

运用 de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点 P

0

、P

1

，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P

0

、P

1

、P

2

的函数 B(t) 追踪：

。

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P

0

、P

1

、P

2

、P

3

四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P

0

走向 P

1

，并从 P

2

的方向来到 P

3

。一般不会经过 P

1

或 P

2

；这两个点只是在那里提供

方向资讯。 P

0

和 P

1

之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P

3

之前，走向 P

2

方向的“长

度有多长”。

曲线的参数形式为：

。

现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条

组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

P

0

、P

1

、…、P

n

，其贝塞尔曲线即

。

例如 ：

。

如上公式可如下递归表达： 用

曲线。则

用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有

表示由点 P

0

、P

1

、…、P

n

所决定的贝塞尔

即多项式

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 0

= 1。

点 P

i

称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P

0

并以

P

n

终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）

包含有贝塞尔曲线。

0