2024年4月1日发(作者：)
超几何分布、二项分布、正态分布复习课程
超几何分布、二项分布、正态分布
超几何分布、二项分布、正态分布
【学习目标】
1、通过实例，理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布列及其
导出过程，并能进行简单的应用。
2、理解n次独立重复试验(即n重伯努利试验)及其意义，理解二
项分布并能解决一些简单的实际问题。
3、借助直观图，了解是正态分布曲线与正态分布，认识正态分布
曲线的特点及曲线表示的意义。
4、会查标准正态分布表，会求满足正态分布的随机变量x在某一
范围内的概率。
【重点与难点】
重点：正确理解超几何分布、二项分布、正态分布的意义。
难点：正确进行超几何分布、二项分布、正态分布有关概率的计
算。
【知识要点】
1、超几何分布：
一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝
①
其中r＝0，1，2，3，…… ，，
＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。
记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，
记为H(r，n，M，N)。
如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取
出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：
(表一)
其中＝min(n，M)，满足超几何分布。
2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在 n 次相互独立试验中，每
次试验的结果仅有两种对
立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为 n 次独立
重复试验，也称为伯努利试验。
P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次
的概率(0≤k≤n)为P(k)＝
(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n 的二项展开式中的
第k＋1项。
3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝
，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1，
2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，
p)。
如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次
数字5的试验等均满足二项分布。
3、正态分布曲线。
(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直
方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密
度曲线。
(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝
(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。
正态密度曲线图象特征：
①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边
无限延伸时，以x轴为渐近线。
②正态曲线关于直线x＝μ对称。
③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。
④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。
4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间
，
P恰好是正态密度曲线下方和x轴上
上方所围成的图形的面积，我们就称随机变
量x服从参数为μ和σ的正态分布，简记为x～N(μ，σ2)。
在现实世界中很多随机变量遵循正态分布。如：反复测量某一个
物理量，其测量误差x通常被认为服从正态分布；某一地区同性别同
年龄组儿童的体重W也近似地服从正态分布。
若x～N(μ，σ2)，则随机变量x在μ的附近取值的概率很大，在
离μ很远处取值的概率很少。如图一所示：随机变量x取值落在区间
(μ－σ，μ ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概
率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%。
其中，μ实际上就是随机变量 x 的均值，σ2为随机变量x的方差，
它们分别反映x取值的平均大小和稳定程度。
5、标准正态分布：正态分布 N(0，1)称为标准正态分布，此时，
P(x)＝
(x∈R)，通过查标准正态分布表可以确定服从
标准正态分布的随机变量的有关概率。
数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主
导地位，则这样的随机变量服从正态分布，特别是在独立地大数量重
复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分
布，这就是中心极限定理，中心极限定理告诉我们在平均重复观察多
次后，我们可以利用正态分布对随机事件进行分析和预报。
可以证明，对任一正态分布x～N(μ，σ2)来说，都可以通过z＝
转化为标准正态分布z～N(0，1)。
6、利用Excel进行有关概率计算。
(1)超几何分布函数计算：按“插入/函数/统计”选择超几何分布
函数“HYPGEOMDIST”，然后依次输入r、n、M、N的值，或直接
在单元格内输入“＝HYPGEOMDIST(4；5，10，30)”即可得到后边
例 1中H(4；5，10，30)的值，约为0.029472443。
(2)二项分布函数计算：选择“插入/函数/统计”，选择二项分布
函数“BINOMDIST”，然后依提示输入相应的参数k、n、p的值，
或在单元格内直接输入“＝BINOMDIST(80，10000，
0.006，1)”即可得到后面例4中P(x≤80)的值，约为0.994。
(3)正态分布函数计算：选择“插入/函数/统计”，选择正态分布
函数“NORMDIST”，输入相应参数x、μ、σ的值，或在单元格内直
接输入“＝NORMDIST(184.5，184，2.5，1)”，就可得到后边例6
中P(x≤184.5)的值，约为0.5793。
7、二项分布的近似计算。
对于二项分布函数，当n比较大，而p比较小(p≤0.1)，而乘积np
大小“适中”时，可以利用
近似公式P(x＝k)＝来计算。
【典型例题分析】
例1：高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有
10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个
球，摸到4个红球一个白球就中一等奖，求中一等奖的概率。
解：以30个球为一批产品，其中红球为“不合格品”，随机抽取
5个球，x表示抽到的红球数，
则x服从超几何分布H(5，10，30)，
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