2024年4月18日发(作者：)

三维点的旋转矩阵

三维点的旋转可以通过旋转矩阵来表示，旋转矩阵是一个3x3

的矩阵。给定一个旋转矩阵R和一个三维点P=[x, y, z]，旋转

后得到的新点P'可以通过以下公式计算：

P' = R * P

其中P'是旋转后的点，R是旋转矩阵，P是原始点。

旋转矩阵R的构造方法有多种，其中一种常见的方法是使用

旋转角度和旋转轴来构造旋转矩阵。如果给定旋转角度θ和旋

转轴向量V=[Vx, Vy, Vz]，可以通过以下步骤构造旋转矩阵：

1. 将旋转轴V标准化得到单位向量u=[ux, uy, uz]，即u = V /

||V||，其中||V||表示V的模长。

2. 计算sinθ和cosθ，其中θ是旋转角度。

3. 根据旋转轴u计算旋转矩阵R：

R = [cosθ + ux^2(1-cosθ), ux*uy*(1-cosθ) - uz*sinθ, ux*uz*(1-

cosθ) + uy*sinθ;

uy*ux*(1-cosθ) + uz*sinθ, cosθ + uy^2(1-cosθ), uy*uz*(1-

cosθ) - ux*sinθ;

ux*uz*(1-cosθ) - uy*sinθ, uy*uz*(1-cosθ) + ux*sinθ, cosθ +

uz^2(1-cosθ)]

这样，给定旋转角度和旋转轴，就可以得到相应的旋转矩阵R。

将旋转矩阵R与三维点P相乘就可以得到旋转后的新点P'。

需要注意的是，旋转矩阵R是正交矩阵，即满足R*R^T = I，

其中R^T表示R的转置矩阵，I是单位矩阵。这意味着旋转矩

阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即R^(-1) = R^T。因此，如果要

求旋转后的点P'，也可以通过以下公式计算：

P' = R^T * P

这种方法将点P与旋转矩阵的转置相乘。这是由于旋转矩阵

的逆等于其转置，所以将转置矩阵与点相乘可以得到旋转后的

点。