2024年6月1日发(作者：)
关于实数七个基本定理等价性的证明
夏小月
中山大学应用数学04级
从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是：
1
戴德金连续性准则
○
2
单调有界有极限定理
○
3
确界定理
○
4
区间套定理
○
5
Borel有限覆盖定理
○
6
Bolzano-Weierstrass定理
○
7
Cauchy收敛原理
○
1
出发证明
○
2
及
○
3
，并证明
○
1
、
2
、
○
3
相互等价，此过程
○
书上证明各定理的思路是：从
○
2
及此加中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。由
○
4
，再由
○
4
分别证出
○
5
及
○
6
，由
○
6
证出
○
7
。强结论可证出
○
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：
①④⑦②⑥
②③⑤④
详细证明如下：
①④
已知有区间套
a
n
,b
n
满足
lim
b
n
a
n
0
，
a
n
1
,b
n
1
a
n
,b
n
n
。
n
要证存在唯一的
r
a,b
，且
limb
nn
n
1
n
n
lima
n
r
n
记
a
n
全体上界组成的集合为
，
AR
。由
a
n
1
,b
n
1
a
n
,b
n
n
，
知
a
1
a
2
a
n
b
n
b
1
。显然
a
1
1A
，
b
1
1
，且
b
n
，故知
A、
不空；由
AR
知
A、
不漏；
aA,b
，由于
a
不是
a
n
的上
界，因此存在
a
n
0
a
n
，使
aa
n
0
。而
b
是
a
n
上界之一，所以
a
n
0
b
，故
aa
n
0
b
，即
ab
，故不乱，因此
A|
构成实数的一个分划。
由
①
知，存在唯一的r，
aA,b
，有
ab
。下证
r
即
n
,
a
n
rb
n
若
，使
a
n
r
，则
a,b
，
nn
n
1
a
n
ra
r
ar
a
n
，因此
n
r
，与
A
，而
n
22
2
aA,ar
矛盾。
n
,
a
n
r
。
同样，若
，使
b
n
r
，则
b
r
br
b
n
r
r
，
，而
n
b
n
，因此
n
2
2
2
与
b,rb
矛盾。
n
,
b
n
r
。
也即
r
a,b
。
nn
n
1
n
下证
lim
b
n
lim
a
n
r
：
n
lim
b
n
a
n
0
n
0,,n
时，
a
n
rb
n
b
n
rb
n
rb
n
a
n
b
n
a
n
a
n
rra
n
b
n
a
n
b
n
a
n
，即
limb
n
lima
n
r
n
n
最后证明
r
是唯一的，若
r
r
，使
r
a,b
，由
a
nn
n
1
n
r,r
b
n
知
r
rb
n
a
n
，令
n
得
r
r0
矛盾，至此区间套定理得证。
④①
已知实数分划
A|
，求证存在唯一的
r
使
aA,b
，
arb
。
任取
a
1
A,b
1
，用中点
a
1
b
1
ab
二等分
a
1
,b
1
，若
11
A
，则记
2
2
a
2
b
2
a
1
b
1
a
1
b
1
，否则记；再用中点二等分
,b
a,ba,
a,b
1
22122
2
22
a
2
,b
2
，若
a
2
b
2
a
b
A
，则记
22
,b
2
a
3
,b
3
，否则记
2
2
a
2
b
2
a
2
,
a
3
,b
3
。……如此进行下去得一区间序列
a
n
,b
n
，显然
2
a
n
1
,b
n
1
a
n
,b
n
n
，且
b
n
a
n
=
间套。由
④
知，存在唯一的
r
满足
r
b
1
a
1
0
n
。因此
a
n
,b
n
为区
2
n
1
a,b
，且
limb
nn
n
1
n
n
lima
n
r
。
n
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