2024年4月20日发(作者：)

如何做一个最大的无盖长方体盒子？

研究问题：寒假时，学校布置给我们一个数学探究作业：用一张A4

纸制作一个最大的无盖长方体盒子。

研究方法：我通过测量，A4纸的长宽分别约是29与21。我发现最

简单的是截取4个角上的4个正方形。那个正方形的边长是做好后

长方体的高。我于是得到了以下几个关系式：

设做好后长方体长为a，宽为b，高为c：

则a+2c=29,且b+2c=21，

∴a-b=8，b=21-2c

我列了如下的表格：

a

b

c

27

19

1

25

17

2

23

15

3

21

13

4

19

11

5

17

9

6

15

7

7

13

5

8

11

3

9

9

1

10

体积

513

850

1035

1092

1045

918

735

520

297

90

我发现，当4＜c＜5时，这个无盖长方体盒子的体积最大。

开学后，教师又用了一节课的时间，让我们来探索：如果给的纸是

13cm*19cm，那么制作最大的无盖长方体盒子的最大体积又是多少

呢？

设的长为a，宽为b，高为c，

已知b+2c=29，a+2c=21→b=29-2c，a=21-21

S（做好长方体）=abc

∴S=a·b·c=（21-2c）（29-2c）·c

第 1 页

=（609-100c+4c²）·c

=609c-100 c²+4c³

也就是说，做好长方体的体积只与C与S有关。

这样，一道几何问题变成了一道代数题：求C为多少时，S最大。

下图是我找到的S与C之间的关系：

研究结论：从图中可知，当高为2.5cm，体积最大为280cm³

拓展：我从中探索到规律：用体积最大时的长除以长与宽的与，商总

是稳定在0.4左右，难道，这是一个规律么？

我于是选择了另外一种长方形纸。它的长宽相等。假定它的边长

为20cm：设的长为a，宽为b，高为c，

已知b+2c=29，a+2c=21→b=29-2c，a=21-21

S（做好长方体）=abc

∴S=a·b·c=（20-2c）（20-2c）·c

=（400-80c+4c²）·c

=400c-80c²+4c³

由图知，当边长为13cm、高为3.5cm时，体积最大。而这时，得

到的是0.65。

当长与宽为相差比较大时，又会是什么情况呢？

我选了长与宽分别是50cm与5cm的长方形，

已知b+2c=50，a+2c=5→b=50-2c，a=5-2c

S（做好长方体）=abc

∴S=a·b·c=（50-2c）（5-2c）·c

第 2 页