2024年4月26日发(作者：)

空间解析几何

已知过点

P

0

(x

0

,y

0

,z

0

)

，且与方向

n{A,B,C}

垂直的平面方程为

.

A(xx

0

)B(yy

0

)C(zz

0

)0

多元函数微分学

1. 求极限

例

lim

例

lim

sin(xy)sin(xy)

limy122

x0x0

xxy

y2y0

xyxkx1k

lim

，不存在

x0

xy

x0

xkx1k

y0ykx

2. 求偏导

(1)（复合求偏导）

x

2

z

2

z

2

z

,

2

。

例 设

zf(x,)

，

zf(u,v)

关于

u,v

具有连续二阶偏导数，求

2

,

y

x

xy

y

解：令

zf

u

,

v

,

ux

,

v

x

y

zzuzv

1zzuzvx



f

1

f

2

，



2

f

2

xuxvx

yyuyvyy

2

z11121



fffffff



2

2

22

2

22

xyyyyy

x1x2x

2

z

2

z

x

2



2

f

2

3

f

22



，

2

3

f

2

4

f

22



2

f

12

xyy

yyyy

y

(2)（隐函数求偏导）

2

z

例 设

ezxy0

，求

2

．

x

解 在方程

e

z

zxy

3

0

两边分别对

x

求偏导数，并注意

z

是

x

,

y

的函数，得

zz

e

z

y

3

0

，

xx

zy

3

于是 ．

z

x1e

z3

再两边对

x

求偏导数，并注意

z

是

x

,

y

的函数，得

2

2

z

z

z

z

e



e

2

2

0

，

xx

x

z

2

2

ze

z

于是

2

x1e

z

2

zy

6

e

z

z

将的表达式代入上式得

2

．

x(1e

z

)

3

x

z



．

x

2

(3)（求全微分）

2

u

x

例 设

uesin

,求

.

xy

y

x

uxe

x

x

x

解：

e

sin

cos

xyyy

2

uxxe

x

xe

x

xx

x

ecos(

2

)

2

cos(sin)(

2

)

xyyyyyyyy

xe

x

xe

x

xxe

x

x

coscossin

y

2

yy

2

yy

3

y

（4）

可偏导和连续的关系（无关系）

3. 拉格朗日乘数法求最值

例

在半径为R的球体内，作一内接长方体，问长方体的边长各为多少时其体积最大？

解:设问长方体的边长各为

x

,

y

,

z

时,体积为

V

,则

V

xyz

,且

x

2

y

2

z

2

4

R

2

0

构造

L

(

x

,

y

,

z

,

)

xyz

(

x

2

y

2

z

2

4

R

2

)

L

x

(

x

,

y

,

z

,

)

yz

2

x

0

L

y

(

x

,

y

,

z

,

)

xz

2

y

0

令

L

z

(

x

,

y

,

z

,

)

xy

2

z

0

2222

L

(

x

,

y

,

z

,

)

x

y

z

4

R

0

由(1)(2)(3)得

x

(1)

(2)

(3)

(4)

2

R

3

y

z

,代入(4)得

x

y

z

例

. 求函数

f(x,y)32xy3x

2

2y

2

的极值．