2023年11月30日发(作者：)
2021年河南省高考数学试卷〔理科〕〔全国新课标Ⅰ〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项
中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．〔5分〕集合A={x|x＜1}，B={x|3＜1}，那么〔 〕
x
A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅
2．〔5分〕如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆
中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一
点，那么此点取自黑色局部的概率是〔 〕
A． B． C． D．
3．〔5分〕设有下面四个命题
p：假设复数z满足∈R，那么z∈R；
1
p：假设复数z满足z∈R，那么z∈R；
2
2
p：假设复数z，z满足zz∈R，那么z=；
312121
p：假设复数z∈R，那么∈R．
4
其中的真命题为〔 〕
A．p，p B．p，p C．p，p D．p，p
13142324
4．〔5分〕记S为等差数列{a}的前n项和．假设a+a=24，S=48，那么{a}
nn456n
的公差为〔 〕
A．1 B．2 C．4 D．8
5．〔5分〕函数f〔x〕在〔﹣∞，+∞〕单调递减，且为奇函数．假设f〔1〕=﹣
1，那么满足﹣1≤f〔x﹣2〕≤1的x的取值范围是〔 〕
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
6．〔5分〕〔1+〕〔1+x〕展开式中x的系数为〔 〕
62
A．15 B．20 C．30 D．35
7．〔5分〕某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直
角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个
面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为〔 〕
A．10 B．12 C．14 D．16
8．〔5分〕如图程序框图是为了求出满足3﹣2＞1000的最小偶数n，那么在
nn
和两个空白框中，可以分别填入〔 〕
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
9．〔5分〕曲线C：y=cosx，C：y=sin〔2x+〕，那么下面结论正确的选项是〔 〕
12
A．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
1
平移个单位长度，得到曲线C
2
B．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
1
平移个单位长度，得到曲线C
2
C．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
1
移个单位长度，得到曲线C
2
D．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
1
移个单位长度，得到曲线C
2
10．〔5分〕F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l，l，直
2
12
线l与C交于A、B两点，直线l与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值
12
为〔 〕
A．16 B．14 C．12 D．10
11．〔5分〕设x、y、z为正数，且2=3=5，那么〔 〕
xyz
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．〔5分〕几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大
家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动．这款软件
的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，
4，8，16，…，其中第一项为哪一项2，接下来的两项是2，2，再接下来的三
001
项是2，2，2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的
012
前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是〔 〕
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．
13．〔5分〕向量，的夹角为60°，||=2，||=1，那么|+2|= ．
14．〔5分〕设x，y满足约束条件，那么z=3x﹣2y的最小值为 ．
15．〔5分〕双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，以A为圆心，b为半
径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．假设∠MAN=60°，那
么C的离心率为 ．
16．〔5分〕如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起
△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化
时，所得三棱锥体积〔单位：cm〕的最大值为 ．
3
三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求
作答．
17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为．
〔1〕求sinBsinC；
〔2〕假设6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；
〔2〕假设PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．〔12分〕为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每天从该消费
线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm〕．根据长期消费经历，可
以认为这条消费线正常状态下消费的零件的尺寸服从正态分布N〔μ，σ〕．
2
〔1〕假设消费状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在〔μ﹣3σ，
μ+3σ〕之外的零件数，求P〔X≥1〕及X的数学期望；
〔2〕一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在〔μ﹣3σ，μ+3σ〕之外的零件，就
认为这条消费线在这一天的消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程
进展检查．
〔ⅰ〕试说明上述监控消费过程方法的合理性；
〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，
i
16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判
断是否需对当天的消费过程进展检查？剔除〔﹣3+3〕之外的数据，用剩下的数
据估计μ和σ〔准确到0.01〕．
附：假设随机变量Z服从正态分布N〔μ，σ〕，那么P〔μ﹣3σ＜Z＜μ+≈0.9592，
216
≈0.09．
20．〔12分〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕，四点P〔1，1〕，P〔0，1〕，P〔﹣1，〕，
123
P〔1，〕中恰有三点在椭圆C上．
4
〔1〕求C的方程；
〔2〕设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点．假设直线PA与直线PB的
222
斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．〔12分〕函数f〔x〕=ae+〔a﹣2〕e﹣x．
2xx
〔1〕讨论f〔x〕的单调性；
〔2〕假设f〔x〕有两个零点，求a的取值范围．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，〔θ为参数〕，直线l
的参数方程为 ，〔t为参数〕．
〔1〕假设a=﹣1，求C与l的交点坐标；
〔2〕假设C上的点到l间隔 的最大值为，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=﹣x+ax+4，g〔x〕=|x+1|+|x﹣1|．
2
〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集；
〔2〕假设不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
2021年河南省高考数学试卷〔理科〕〔全国新课标Ⅰ〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项
中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．〔5分〕集合A={x|x＜1}，B={x|3＜1}，那么〔 〕
x
A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅
【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，
B={x|3＜1}={x|x＜0}，
x
∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；
A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．
应选：A．
【点评】此题考察交集和并集求法及应用，是根底题，解题时要认真审题，注意
交集、并集定义的合理运用．
2．〔5分〕如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆
中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一
点，那么此点取自黑色局部的概率是〔 〕
A． B． C． D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进展
求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色局部为圆面积的一半，设圆的半径为1，
那么正方形的边长为2，
那么黑色局部的面积S=，
那么对应概率P==，
应选：B
【点评】此题主要考察几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影局部的面
积是解决此题的关键．
3．〔5分〕设有下面四个命题
p：假设复数z满足∈R，那么z∈R；
1
p：假设复数z满足z∈R，那么z∈R；
2
2
p：假设复数z，z满足zz∈R，那么z=；
312121
p：假设复数z∈R，那么∈R．
4
其中的真命题为〔 〕
A．p，p B．p，p C．p，p D．p，p
13142324
【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答
案．
【解答】解：假设复数z满足∈R，那么z∈R，故命题p为真命题；
1
p：复数z=i满足z=﹣1∈R，那么z∉R，故命题p为假命题；
22
2
p：假设复数z=i，z=2i满足zz∈R，但z≠，故命题p为假命题；
3121213
p：假设复数z∈R，那么=z∈R，故命题p为真命题．
44
应选：B．
【点评】此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了复数的运算，复数的分类，
复数的运算性质，难度不大，属于根底题．
4．〔5分〕记S为等差数列{a}的前n项和．假设a+a=24，S=48，那么{a}
nn456n
的公差为〔 〕
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，
由此能求出{a}的公差．
n
【解答】解：∵S为等差数列{a}的前n项和，a+a=24，S=48，
nn456
∴，
解得a=﹣2，d=4，
1
∴{a}的公差为4．
n
应选：C．
【点评】此题考察等差数列的面公式的求法及应用，是根底题，解题时要认真审
题，注意等差数列的性质的合理运用．
5．〔5分〕函数f〔x〕在〔﹣∞，+∞〕单调递减，且为奇函数．假设f〔1〕=﹣
1，那么满足﹣1≤f〔x﹣2〕≤1的x的取值范围是〔 〕
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【分析】由中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f〔x﹣2〕≤1化为﹣1
≤x﹣2≤1，解得答案．
【解答】解：∵函数f〔x〕为奇函数．
假设f〔1〕=﹣1，那么f〔﹣1〕=1，
又∵函数f〔x〕在〔﹣∞，+∞〕单调递减，﹣1≤f〔x﹣2〕≤1，
∴f〔1〕≤f〔x﹣2〕≤f〔﹣1〕，
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
应选：D
【点评】此题考察的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，
难度中档．
6．〔5分〕〔1+〕〔1+x〕展开式中x的系数为〔 〕
62
A．15 B．20 C．30 D．35
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
【解答】解：〔1+〕〔1+x〕展开式中：
6
假设〔1+〕=〔1+x〕提供常数项1，那么〔1+x〕提供含有x的项，可得展开
﹣
262
式中x的系数：
2
假设〔1+〕提供x项，那么〔1+x〕提供含有x的项，可得展开式中x的系数：
﹣
2642
由〔1+x〕通项公式可得．
6
可知r=2时，可得展开式中x的系数为．
2
可知r=4时，可得展开式中x的系数为．
2
〔1+〕〔1+x〕展开式中x的系数为：15+15=30．
62
应选C．
【点评】此题主要考察二项式定理的知识点，通项公式的灵敏运用．属于根底题．
7．〔5分〕某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直
角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个
面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为〔 〕
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个一样的梯形的面，
根据梯形的面积公式计算即可
【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个一样的梯形的面，
S=×2×〔2+4〕=6，
梯形
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，
应选：B
【点评】此题考察了体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
8．〔5分〕如图程序框图是为了求出满足3﹣2＞1000的最小偶数n，那么在
nn
和两个空白框中，可以分别填入〔 〕
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否〞时输出确定“〞内不
能输入“A＞1000〞，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否〞时输出，
所以“〞内不能输入“A＞1000〞，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“〞中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
应选：D．
【点评】此题考察程序框图，属于根底题，意在让大局部考生得分．
9．〔5分〕曲线C：y=cosx，C：y=sin〔2x+〕，那么下面结论正确的选项是〔 〕
12
A．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
1
平移个单位长度，得到曲线C
2
B．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
1
平移个单位长度，得到曲线C
2
C．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
1
移个单位长度，得到曲线C
2
D．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
1
移个单位长度，得到曲线C
2
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】解：把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x
1
图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2〔x+〕=cos〔2x+〕
=sin〔2x+〕的图象，即曲线C，
2
应选：D．
【点评】此题考察三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考察计算才能．
10．〔5分〕F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l，l，直
2
12
线l与C交于A、B两点，直线l与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值
12
为〔 〕
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的
斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设直线l的倾斜角为θ，那么l的倾斜角为 +θ，利用焦点弦的弦长公
12
式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案
【解答】解：如图，l⊥l，直线l与C交于A、B两点，
121
直线l与C交于D、E两点，
2
要使|AB|+|DE|最小，
那么A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l过点〔1，0〕，
2
那么直线l的方程为y=x﹣1，
2
联立方程组，那么y﹣4y﹣4=0，
2
∴y+y=4，yy=﹣4，
1212
∴|DE|=•|y﹣y|=×=8，
12
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，
方法二：设直线l的倾斜角为θ，那么l的倾斜角为 +θ，
12
根据焦点弦长公式可得|AB|==
|DE|===
∴|AB|+|DE|=+==，
∵0＜sin2θ≤1，
2
∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
应选：A
【点评】此题考察了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，
对于过焦点的弦，能纯熟掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
11．〔5分〕设x、y、z为正数，且2=3=5，那么〔 〕
xyz
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【分析】x、y、z为正数，令2=3=5=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，
xyz
2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．
另解：x、y、z为正数，令2=3=5=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可
xyz
得2x＞3y，同理可得5z＞2x．
【解答】解：x、y、z为正数，
令2=3=5=k＞1．lgk＞0．
xyz
那么x=，y=，z=．
∴3y=，2x=，5z=．
∵==，＞=．
∴＞lg＞＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2=3=5=k＞1．lgk＞0．
xyz
那么x=，y=，z=．
∴==＞1，可得2x＞3y，
==＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比拟出大小关系．
应选：D．
【点评】此题考察了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考察了推理
才能与计算才能，属于中档题．
12．〔5分〕几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大
家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动．这款软件
的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，
4，8，16，…，其中第一项为哪一项2，接下来的两项是2，2，再接下来的三
001
项是2，2，2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的
012
前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是〔 〕
A．440 B．330 C．220 D．110
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b}的通项公式及前n项和，可知当
n
N为时〔n∈N〕，数列{a}的前N项和为数列{b}的前n项和，即为2﹣n﹣2，
+
nn
n1
+
容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S=2﹣2﹣n，及项数，由题意
n
n1
+
可知：2为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．
n1
+
【解答】解：设该数列为{a}，设b=+…+=2﹣1，〔n∈N〕，那么=a，
nni
n1
+
+
由题意可设数列{a}的前N项和为S，数列{b}的前n项和为T，那么T=2﹣
nNnnn
1
1+2﹣1+…+2﹣1=2﹣n﹣2，
2n1n1
++
可知当N为时〔n∈N〕，数列{a}的前N项和为数列{b}的前n项和，即为2
+
nn
n1
+
﹣n﹣2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由=435，440=435+5，可知S=T+b=2﹣29﹣2+2﹣1=2，故A项符合
440295
30530
题意．
B项，仿上可知=325，可知S=T+b=2﹣25﹣2+2﹣1=2+4，显然不为2的
330255
26526
整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知=210，可知S=T+b=2﹣20﹣2+2﹣1=2+2﹣23，显然不
2202010
21102110
为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知=105，可知S=T+b=2﹣14﹣2+2﹣1=2+15，显然不为2的
110145
15515
整数幂，故D项不符合题意．
应选A．
方法二：由题意可知：，，，…，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2﹣1，2﹣1，2﹣1，…，2
123n
﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=，
所有项数的和为S：2﹣1+2﹣1+2﹣1+…+2﹣1=〔2+2+2+…+2〕﹣n=﹣n=2
n
123n123nn1
+
﹣2﹣n，
由题意可知：2为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，
n1
+
那么①1+2+〔﹣2﹣n〕=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，
②1+2+4+〔﹣2﹣n〕=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+〔﹣2﹣n〕=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+〔﹣2﹣n〕=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
应选A．
【点评】此题考察数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考察计算才能，
属于难题．
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分．
13．〔5分〕向量，的夹角为60°，||=2，||=1，那么|+2|= 2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，
∴=+4•+4
=2+4×2×1×cos60°+4×1
22
=12，
∴|+2|=2．
【解法二】根据题意画出图形，如下图；
结合图形=+=+2；
在△OAC中，由余弦定理得
||==2，
即|+2|=2．
故答案为：2．
【点评】此题考察了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模
长，是根底题．
14．〔5分〕设x，y满足约束条件，那么z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结
合得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，目的函数的最优解为A，
联立，解得A〔﹣1，1〕．
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档
题．
15．〔5分〕双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，以A为圆心，b为半
径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．假设∠MAN=60°，那
么C的离心率为 ．
【分析】利用条件，转化求解A到渐近线的间隔 ，推出a，c的关系，然后求解
双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A〔a，0〕，
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
假设∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的间隔 为：bcos30°=，
可得：=，即，可得离心率为：e=．
故答案为：．
【点评】此题考察双曲线的简单性质的应用，点到直线的间隔 公式以及圆的方
程的应用，考察转化思想以及计算才能．
16．〔5分〕如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起
△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化
时，所得三棱锥体积〔单位：cm〕的最大值为 4cm ．
33
【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，
那么BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S=3，V==，令f〔x〕=25x﹣10x，
△
ABC
45
x∈〔0，〕，f′〔x〕=100x﹣50x，f〔x〕≤f〔2〕=80，由此能求出体积最大值．
34
【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，
即OG的长度与BC的长度成正比，
设OG=x，那么BC=2x，DG=5﹣x，
三棱锥的高h===，
=3，
那么V===，
令f〔x〕=25x﹣10x，x∈〔0，〕，f′〔x〕=100x﹣50x，
4534
令f′〔x〕≥0，即x﹣2x≤0，解得x≤2，
43
那么f〔x〕≤f〔2〕=80，
∴V≤=4cm，∴体积最大值为4cm．
33
故答案为：4cm．
3
【点评】此题考察三棱锥的体积的最大值的求法，考察空间中线线、线面、面面
间的位置关系、函数性质、导数等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能、
空间想象才能，考察数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求
作答．
17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为．
〔1〕求sinBsinC；
〔2〕假设6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
【分析】〔1〕根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
〔2〕根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，
根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
【解答】解：〔1〕由三角形的面积公式可得S=acsinB=，
△
ABC
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=；
〔2〕∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，
∴cos〔B+C〕=﹣，
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=，
∵===2R==2，
∴sinBsinC=•===，
∴bc=8，
∵a=b+c﹣2bccosA，
222
∴b+c﹣bc=9，
22
∴〔b+c〕=9+3cb=9+24=33，
2
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+．
【点评】此题考察了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定
理余弦定理，考察了学生的运算才能，属于中档题．
18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
〔1〕证明：平面PAB⊥平面PAD；
〔2〕假设PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【分析】〔1〕由可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂
直的断定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
〔2〕由可得四边形ABCD为平行四边形，由〔1〕知AB⊥平面PAD，得到AB⊥
AD，那么四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，那么AD=．取AD中点O，BC中
点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、
z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，
得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C
的余弦值．
【解答】〔1〕证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
〔2〕解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由〔1〕知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，那么四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，那么AD=．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标
系，
那么：D〔〕，B〔〕，P〔0，0，〕，C〔〕．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，那么为平面PAB的一个法向量，．
∴cos＜＞==．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
【点评】此题考察平面与平面垂直的断定，考察空间想象才能和思维才能，训练
了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．
19．〔12分〕为了监控某种零件的一条消费线的消费过程，检验员每天从该消费
线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸〔单位：cm〕．根据长期消费经历，可
以认为这条消费线正常状态下消费的零件的尺寸服从正态分布N〔μ，σ〕．
2
〔1〕假设消费状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在〔μ﹣3σ，
μ+3σ〕之外的零件数，求P〔X≥1〕及X的数学期望；
〔2〕一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在〔μ﹣3σ，μ+3σ〕之外的零件，就
认为这条消费线在这一天的消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程
进展检查．
〔ⅰ〕试说明上述监控消费过程方法的合理性；
〔ⅱ〕下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，
i
16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判
断是否需对当天的消费过程进展检查？剔除〔﹣3+3〕之外的数据，用剩下的数
据估计μ和σ〔准确到0.01〕．
附：假设随机变量Z服从正态分布N〔μ，σ〕，那么P〔μ﹣3σ＜Z＜μ+≈0.9592，
216
≈0.09．
【分析】〔1〕通过P〔X=0〕可求出P〔X≥1〕=1﹣P〔X=0〕=0.0408，利用二项
分布的期望公式计算可得结论；
〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕及知落在〔μ﹣3σ，μ+3σ〕之外为小概率事件可知该监控消
费过程方法合理；
〔ⅱ〕通过样本平均数、样本标准差s估计、可知〔﹣3+3〕=〔9.334，10.606〕，
进而需剔除〔﹣3+3〕之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
【解答】解：〔1〕由题可知尺寸落在〔μ﹣3σ，μ+3σ〕之内的概率为0.9974，
那么落在〔μ﹣3σ，μ+3σ〕之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，
因为P〔X=0〕=×〔1﹣0.9974〕×≈0.9592，
016
所以P〔X≥1〕=1﹣P〔X=0〕=0.0408，
又因为X～B〔16，0.0026〕，
所以E〔X〕=16×0.0026=0.0416；
〔2〕〔ⅰ〕假如消费状态正常，一个零件尺寸在〔﹣3+3〕之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在〔﹣3+3〕之外的零件的概率只有0.0408，
发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条消费线在这一天的
消费过程可能出现了异常情况，需对当天的消费过程进展检查，可见上述监控消
费过程的方法是合理的．
〔ⅱ〕由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本
数据可以看出一个
零件的尺寸在〔﹣3+3〕之外，因此需对当天的消费过程进展检查．
剔除〔﹣3+3〕之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
〔16×9.97﹣9.22〕=10.02，
因此μ的估计值为10.02．
222
=16×+16×≈1591.134，
剔除〔﹣3+3〕之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
22
﹣15×〕≈0.008，
因此σ的估计值为≈0.09．
【点评】此题考察正态分布，考察二项分布，考察方差、标准差，考察概率的计
算，考察运算求解才能，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．〔12分〕椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕，四点P〔1，1〕，P〔0，1〕，P〔﹣1，〕，
123
P〔1，〕中恰有三点在椭圆C上．
4
〔1〕求C的方程；
〔2〕设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点．假设直线PA与直线PB的
222
斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【分析】〔1〕根据椭圆的对称性，得到P〔0，1〕，P〔﹣1，〕，P〔1，〕三点在
234
椭圆C上．把P〔0，1〕，P〔﹣1，〕代入椭圆C，求出a=4，b=1，由此能求
23
22
出椭圆C的方程．
〔2〕当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，〔t≠1〕，联立，
得〔1+4k〕x+8ktx+4t﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结
222
合条件能证明直线l过定点〔2，﹣1〕．
【解答】解：〔1〕根据椭圆的对称性，P〔﹣1，〕，P〔1，〕两点必在椭圆C上，
34
又P的横坐标为1，∴椭圆必不过P〔1，1〕，
41
∴P〔0，1〕，P〔﹣1，〕，P〔1，〕三点在椭圆C上．
234
把P〔0，1〕，P〔﹣1，〕代入椭圆C，得：
23
，解得a=4，b=1，
22
∴椭圆C的方程为=1．
证明：〔2〕①当斜率不存在时，设l：x=m，A〔m，y〕，B〔m，﹣y〕，
AA
∵直线PA与直线PB的斜率的和为﹣1，
22
∴===﹣1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+t，〔t≠1〕，A〔x，y〕，B〔x，y〕，
1122
联立，整理，得〔1+4k〕x+8ktx+4t﹣4=0，
222
，xx=，
12
那么==
===﹣1，又t≠1，
∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，
当x=2时，y=﹣1，
∴l过定点〔2，﹣1〕．
【点评】此题考察椭圆方程的求法，考察椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定
理、直线方程位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察函
数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
21．〔12分〕函数f〔x〕=ae+〔a﹣2〕e﹣x．
2xx
〔1〕讨论f〔x〕的单调性；
〔2〕假设f〔x〕有两个零点，求a的取值范围．
【分析】〔1〕求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f〔x〕
单调性；
〔2〕由〔1〕可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f〔x〕最
小值，由f〔x〕＜0，g〔a〕=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g〔a〕=g〔e〕
minmin
﹣
2
=elne+e﹣1=﹣﹣1，g〔1〕=0，即可求得a的取值范围．
﹣﹣﹣
222
〔1〕求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f〔x〕单调性；
〔2〕分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，
即可求得a的取值范围．
【解答】解：〔1〕由f〔x〕=ae+〔a﹣2〕e﹣x，求导f′〔x〕=2ae+〔a﹣2〕e
2xx2xx
﹣1，
当a=0时，f′〔x〕=﹣2e﹣1＜0，
x
∴当x∈R，f〔x〕单调递减，
当a＞0时，f′〔x〕=〔2e+1〕〔ae﹣1〕=2a〔e+〕〔e﹣〕，
xxxx
令f′〔x〕=0，解得：x=ln，
当f′〔x〕＞0，解得：x＞ln，
当f′〔x〕＜0，解得：x＜ln，
∴x∈〔﹣∞，ln〕时，f〔x〕单调递减，x∈〔ln，+∞〕单调递增；
当a＜0时，f′〔x〕=2a〔e+〕〔e﹣〕＜0，恒成立，
xx
∴当x∈R，f〔x〕单调递减，
综上可知：当a≤0时，f〔x〕在R单调减函数，
当a＞0时，f〔x〕在〔﹣∞，ln〕是减函数，在〔ln，+∞〕是增函数；
〔2〕①假设a≤0时，由〔1〕可知：f〔x〕最多有一个零点，
当a＞0时，f〔x〕=ae+〔a﹣2〕e﹣x，
2xx
当x→﹣∞时，e→0，e→0，
2xx
∴当x→﹣∞时，f〔x〕→+∞，
当x→∞，e→+∞，且远远大于e和x，
2xx
∴当x→∞，f〔x〕→+∞，
∴函数有两个零点，f〔x〕的最小值小于0即可，
由f〔x〕在〔﹣∞，ln〕是减函数，在〔ln，+∞〕是增函数，
∴f〔x〕=f〔ln〕=a×〔〕+〔a﹣2〕×﹣ln＜0，
min
∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，
设t=，那么g〔t〕=lnt+t﹣1，〔t＞0〕，
求导g′〔t〕=+1，由g〔1〕=0，
∴t=＞1，解得：0＜a＜1，
∴a的取值范围〔0，1〕．
方法二：〔1〕由f〔x〕=ae+〔a﹣2〕e﹣x，求导f′〔x〕=2ae+〔a﹣2〕e﹣1，
2xx2xx
当a=0时，f′〔x〕=﹣2e﹣1＜0，
x
∴当x∈R，f〔x〕单调递减，
当a＞0时，f′〔x〕=〔2e+1〕〔ae﹣1〕=2a〔e+〕〔e﹣〕，
xxxx
令f′〔x〕=0，解得：x=﹣lna，
当f′〔x〕＞0，解得：x＞﹣lna，
当f′〔x〕＜0，解得：x＜﹣lna，
∴x∈〔﹣∞，﹣lna〕时，f〔x〕单调递减，x∈〔﹣lna，+∞〕单调递增；
当a＜0时，f′〔x〕=2a〔e+〕〔e﹣〕＜0，恒成立，
xx
∴当x∈R，f〔x〕单调递减，
综上可知：当a≤0时，f〔x〕在R单调减函数，
当a＞0时，f〔x〕在〔﹣∞，﹣lna〕是减函数，在〔﹣lna，+∞〕是增函数；
〔2〕①假设a≤0时，由〔1〕可知：f〔x〕最多有一个零点，
②当a＞0时，由〔1〕可知：当x=﹣lna时，f〔x〕获得最小值，f〔x〕=f〔﹣
min
lna〕=1﹣﹣ln，
当a=1，时，f〔﹣lna〕=0，故f〔x〕只有一个零点，
当a∈〔1，+∞〕时，由1﹣﹣ln＞0，即f〔﹣lna〕＞0，
故f〔x〕没有零点，
当a∈〔0，1〕时，1﹣﹣ln＜0，f〔﹣lna〕＜0，
由f〔﹣2〕=ae+〔a﹣2〕e+2＞﹣2e+2＞0，
﹣﹣﹣
422
故f〔x〕在〔﹣∞，﹣lna〕有一个零点，
假设存在正整数n，满足n＞ln〔﹣1〕，那么f〔n〕=〔a+a﹣2〕﹣n＞﹣n＞
00000
﹣n＞0，
0
由ln〔﹣1〕＞﹣lna，
因此在〔﹣lna，+∞〕有一个零点．
∴a的取值范围〔0，1〕．
【点评】此题考察导数的综合应用，考察利用导数求函数单调性及最值，考察函
数零点的判断，考察计算才能，考察分类讨论思想，属于中档题．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，〔θ为参数〕，直线l
的参数方程为 ，〔t为参数〕．
〔1〕假设a=﹣1，求C与l的交点坐标；
〔2〕假设C上的点到l间隔 的最大值为，求a．
【分析】〔1〕将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方
程，联立两方程可以求得焦点坐标；
〔2〕曲线C上的点可以表示成P〔3cosθ，sinθ〕，θ∈[0，2π〕，运用点到直线间
隔 公式可以表示出P到直线l的间隔 ，再结合间隔 最大值为进展分析，可以
求出a的值．
【解答】解：〔1〕曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，化为标准方程是：+y=1；
2
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为〔3，0〕和〔﹣，〕．
〔2〕l的参数方程〔t为参数〕化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P〔3cosθ，sinθ〕，θ∈[0，2π〕，
所以点P到直线l的间隔 d为：
d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
|5sin〔θ+4〕﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17
解得a=8≥﹣4，符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
|5sin〔θ+4〕﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．
【点评】此题主要考察曲线的参数方程、点到直线间隔 和三角函数的最值，难
点在于如何根据曲线C上的点到直线l间隔 的最大值求出a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f〔x〕=﹣x+ax+4，g〔x〕=|x+1|+|x﹣1|．
2
〔1〕当a=1时，求不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集；
〔2〕假设不等式f〔x〕≥g〔x〕的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
【分析】〔1〕当a=1时，f〔x〕=﹣x+x+4，g〔x〕=|x+1|+|x﹣1|=，分x＞1、x
2
∈[﹣1，1]、x∈〔﹣∞，﹣1〕三类讨论，结合g〔x〕与f〔x〕的单调性质即可
求得f〔x〕≥g〔x〕的解集为[﹣1，]；
〔2〕依题意得：﹣x+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔x﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒
22
成立，只需，解之即可得a的取值范围．
【解答】解：〔1〕当a=1时，f〔x〕=﹣x+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二
2
次函数，
g〔x〕=|x+1|+|x﹣1|=，
当x∈〔1，+∞〕时，令﹣x+x+4=2x，解得x=，g〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，
2
f〔x〕在〔1，+∞〕上单调递减，∴此时f〔x〕≥g〔x〕的解集为〔1，]；
当x∈[﹣1，1]时，g〔x〕=2，f〔x〕≥f〔﹣1〕=2．
当x∈〔﹣∞，﹣1〕时，g〔x〕单调递减，f〔x〕单调递增，且g〔﹣1〕=f〔﹣
1〕=2．
综上所述，f〔x〕≥g〔x〕的解集为[﹣1，]；
〔2〕依题意得：﹣x+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]
22
恒成立，那么只需，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】此题考察绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考察分类讨论
思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
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