2023届新高考数学数列经典题型专题提升(尖子生专用)第23讲 数列的新

2023年11月30日发(作者：)

202323

届新高考数学数列经典题型专题提升（尖子生专用）第

讲数列的新定义问题

一、单选题

1．（2021·全国·高二课时练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，

提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并

不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般

.

称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该

数列的第8项为（）

A99B131C139D141

．．．．

（北京东直门中学高二月考）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为．

2021··2

一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.



a

n

是等积数列，且

a2

6

，

公积为，则的值是（）

6

aaaaa

15920052009

ABCD

．．．．

2

502

33

502503

2

503

*

（江苏苏州高三月考）若数列．

2021··3



afm

n

中不超过的项数恰为



b

m



mN

，则称数

列



bafmab

mnnm

是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知





anSS

nmm

230

，且，数列项和，若，则的值为（）

fmm





b

m

的前

mm

A．9B．11C．12D．14

（宁夏六盘山高级中学高二月考（理））对于正项数列．

2021··4



a

n

，定义

G

n



aaana

123



23



n

为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，



aa

nn

Gn

n

2

n

）等于（

则该数列中的

a

9

A．B．C．D．

8

3

12

5

2119

109

5．（2021·湖北黄石·高三开学考试）普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名

为外观数列，该数列的后一项由前一项的外观产生．以为首项的外观数列记作，其

“”1“”

A

1

中为1，11，21，1211，111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为

A

1

1121211211

；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此

第四项为，按照相同的规则可得其它项，例如为，，，，，，

12113…1311133113132113…

AA

1

3

若的第n项记作，的第n项记作，其中i，，若，则的前

Aab

in

n

A

j

j2,9



cabc

nnn



n

n项和为（）

A．B．C．D．

2n|ij|n|ij|

n(ij)

1

||

ij

2

aaa

12



22



n



1

n

（贵州威宁高一期末）对于数列．

2021··6



aa

nn

，定义的美

Y

n



为数列



“

n

n



1

值”，现在已知某数列的“美值”，记数列项和为，若对



a

n

Y

n



2



atn

n

的前

n

SSS

n

n10

任意的

nN

*

恒成立，则实数的取值范围是（）

t



1112

AB

．．



,



55



1112



,



55



18112411

DC

．．



,,



115115



（全国高三专题练习（文））对任一实数列．

2021··7



aa

nn

，定义，

Δ

aaa

nnn





1

，若

ΔΔ1



aa0

1820172021

，则（）

a

C2003D4006A1000B2000

．．．．

（江苏高二单元测试）对于数列．

2021··8

{}

x

n

若存在常数，对任意的

M0

nN

*

，恒有

xxxxxxM

n1nnn121





，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，

{}{}

xx

nn

S

n

n

下列说法错误的是（）

．．

A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列

q(|q|1)

B．若数列



xS

nn

是有界数列，则数列是有界数列



C．若数列



Sx

nn

是有界数列，则数列是有界数列



D．若数列



aab

nnn

、都是有界数列，则数列也是有界数列



b

n



（湖南长郡中学高二期中）对任一实数序列，定义序列．

2021··9

Aa,a,a,



123

Aaa,aa,aa,



213243

，它的第项为的所有项都为1，且

n

aa

n1n





.假定序列

A



aa0

1820172021

，则（）

a

C2003D4006A1000B2000

．．．．

10．（2020·江苏省梁丰高级中学高二期中）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应

用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软

件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，，，，，，，，，，，，，

1121241248124

8，16，，



，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，

22222

00101

2

2

依此类推.求满足如下条件的最小整数：

N

N55

且该数列的前项和为2的整数幂.那么该

N

款软件的激活码是（）

A．95B．105C．115D．125

（山东嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大．

2021··11

123L100

数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律

生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则

{}

a

n

a

n



aaa

12m2020





（）

n

(n,mN*)

24042

m



A

．

mm

505

505

24

B

．

CD

．．

m5052m505

二、多选题

22

12．（2021·全国·高二课时练习）在数列



a

n

中，若（，

aap

nn1





n2

nN

*

，p为常数），

则



a

n

称为等方差数列下列对等方差数列的判断，其中正确的为（）

“”.“”

2

A

．若



a

n

是等方差数列，则

a

n

是等差数列



B．若



a

n

是等方差数列，则



a

是等方差数列

n

C．数列





1

是等方差数列

n



D

．若



a

n

是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列



a

kn

kN

*

k

13．（2021·江苏·苏州中学高二月考）已知数列



a

n

中的前项和为，若对任意的正整数，

nn

S

n

都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（）

aS

n1n







a

n

A．常数数列为“和谐数列”



1

B

．



n

为和谐数列

“”



2

C“”

．为和谐数列



2n1

D．若公差为的等差数列

d



a

n

满足：



an

n

为“和谐数列”，则的最小值为-2

ad

1

14．（2021·全国·高二单元测试）设数列



a

n

的前

n

项和为，若存在实数，使得对于任

S

n

A

意的，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（）

nN

*

，都有

SAaa

n



nn

TT

A

．



a

n

是等差数列，且

a0

1

，公差

d0

B．



a

n

是等比数列，且公比

q

满足

q1

C．

a

n



n



2

nn





12

n



1

n

D．

a1

1

，

aa

nn



2





10

15．（2021·全国·高二课时练习）记数列



a

n

的前项和为，若存在实数，使得对任意

n

S

n

H

的，则称数列

nN

*

，都有为“和有界数列”．下列说法正确的是（）

SH

n



a

n

A

．若数列



aa

nn

是等差数列，且公差，则数列是和有界数列

d0



“”

B

．若数列



aa

nn

是等差数列，且数列是和有界数列，则公差



“”

d0

C．若数列



aa

nn

是等比数列，且公比是“和有界数列”

q

满足，则数列

q1



D．若数列



aa

nn

是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比



q

满足

q1

（广东天河高三月考）在数列．

2021··16



a

n

中，若，

aap

nn1





（，为

n2

nN

*

p

常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（）



a

n

2

n

A．

3

是开方差数列



B

．若



aa

nn

是开方差数列，则是等差数列



C．若



aa

nkn

是开方差数列，则也是开方差数列（



kN

*

，为常数）

k

D．若



a

n

既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

（江苏高二专题练习）在数列．

2021··17

{}

a

n

中，对任意（为常

nN

*

，都有

aa

nn



21





k

k

aa

nn



1



数），则称为等差比数列．下面对等差比数列的判断正确的是（）

{}

a

n

“”“”

A．不可能为0；

k

B．等差数列一定是等差比数列；

C．等比数列一定是等差比数列；

n

D．通项公式为

aabcab

n

(0,0,1)

的数列一定是等差比数列

22



18．（2021·江苏·高三专题练习）在数列{a

nn

}中，若}

aapnnNp

nn





1

(2,,

为常数），则{a

称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（）

A．若{a}是等差数列

nn

}是等方差数列，则{a

2

B{a}

．若是等方差数列

nn

}{a

是等方差数列，则

2

C{1}

．（﹣）是等方差数列

n

D．若{a

nkn

}是等方差数列，则{a}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列

三、双空题

（全国模拟预测）定义：记满足下列两个条件的有穷数列．

2021··19

aaan

12

,,,2,3,4,

n



为n阶“期待数列”.①；②

aaa

123

a

n

0

aaaa

123

n

1

.试写出一个3阶

“”___________2021“”

期待数列；若阶期待数列



a

n

是递增的等差数列，则

a

2021

___________.

*

（全国高二课时练习）对于数列．

2021··20



a

n

，若任意，都有（

m,nNmn



aa

mn





t

t

mn



为常数）成立，则称数列．



a

n

具有性质

pt



n

（1）若数列，则的最大值为______；



a

n

的通项公式为，且具有性质

a3

n

pt



t

（2）若数列，且具有性质，则实数的取值范围是______．



a

n

的通项公式为

an

n



a

p9



a

n

（湖北汉阳一中模拟预测）牛顿选代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在世．

2021··—21

17

纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的

r

y＝fx



一个零点，任意选取的初始近似值，过点，设

x

0

作为

r



x,fxy＝fx

00



作曲线的切线



ll

11

与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线

x

xx

11

r

1



x，fx

11



y＝fx

llxx

2222

，设与，称为

x

轴交点的横坐标为的次近似值．一般的，过点

r

2



xfxnN

nn

,()



作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似

y＝fx



llxx

n1n1n1n1



x

r

n1

3

值．设的零点为，取，则的次近似值为；设

fxxx1



(x0)

rr

x＝0

0

2

_____

3

xx

nn

3



*

a

n



，项积为

nN,

*

数列



a

n

的前．若任意恒成立，则整数的

n

T

n

nNT＜

,

n





3

21

x

n



最小值为_____．

22．（2021·全国·高二课时练习）数列



aa

nn

的前的“优值”为

n

项和为，定义

S

n



aaa

12



22



n



1

n

n

，现已知



a

n

的“优值”，则

H2

n

aS

nn

_____，_____．

H

n



n

四、填空题

23．（2020·江苏·江阴市成化高级中学高二月考）对于数列



aa

nn

，规定的一



a

n

为数列



*

k

阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶



aaanNa

nn1n



kk2



n



a

n

k

2*

n

kkk



11

差分数列，其中.若，且，则数列



aaa

nnn



1

a1

1



aaanN

nnn



1

2







a

n

的通项公式为

a

n

_________.



24．（2021·河南三门峡·高三月考（理））在数列



p

n

中，如果对任意，都有

n2n

N



pp

nn



1



k

（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列结论：①等

kk



p

n

pp

nn



1

比数列一定是比等差数列；②等差数列一定不是比等差数列；③若，则

an

n

!



a

n

是比等差

数列，且比公差为；④若数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，则数列

1



a

n



b

n



ab

nn

一定不是比等差数列其中正确的有（填序号）

._____________.

（江苏高二单元测试）取出数列．

2021··25



an

n

,(4)

的任意连续四项，若其中奇数项之和，

偶数项之和均为同一个常数（如连续四项，，，），则

h

aaaaaah

12

a

3

a

4

，满足

1324

称数列表示项和，有如下



an

n

,(4)

为错位等和数列，其中常数是公和若的前

h

.

S

n



a

n

n

命题：

（1）若一个等差数列是错位等和数列，则；

aa

n1

（2）若一个等比数列是错位等和数列，则

S

n

nh

；

2