2024年3月11日发(作者：)

高二上期期末模拟五

（答案在最后）

一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的.

A

1,0

1.已知直线

l

经过点和

B1,23



，则

l

的倾斜角为（

C.

）

D.A.

π

6

B.

π

4

π

3

2π

3

【答案】

C

【解析】

【分析】先求解出

l

的斜率

k

，然后根据

tanθk

求解出倾斜角

.

【详解】设直线

l

的倾斜角为

，

因为

k

l

23

0

3

，

1

1

所以

tan

3

且

0

π

，

所以

故选：

C.

π

，

3

x

2

y

2

2.已知椭圆C：



1

的

焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（

3

k

5

k

A.

）

1,3

B.

5,1

C.

5,3

D.

5,1

1,3

【答案】

A

【解析】

【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于

k

的不等式求解即可

.

【详解】因为椭圆的焦点在

y

轴上，所以有

5k3k0

，解得

1k3

.

故选：

A

3.已知直线

x3y

0

与直线

2x6y10

间的距离为

9

11

A.

或

2

2

10

，则

（

2

）

B.

9

D.6

或

4

C.

9

或

11

【答案】

A

【解析】

【分析】运用两条平行直线间的距离公式计算即可.

【详解】直线

x3y

0

可化为

2x6y2

0

，

所以

2

1

2

2

6

2

10

911

，解得



或

．

2

22

故选：A

.

4.“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间

[0,10]

内的一个数

来表示，该数越接近

10

表示满意程度越高．现随机抽取

10

位某小区居民，他们的幸福感指数分别为

3

，

4

，

5

，

5

，

6

，

6

，

7

，

8

，

9

，

10

，则这组数据的第

80

百分位数是（

A.7.5

【答案】

C

【解析】

【分析】计算得

i8

，然后由第

8

个数据和第

9

个数据求平均数可得.

【详解】因为

1080%8

，

所以第80百分位数是

故选：

C

5.设圆C与圆

x

2

y3

1

外切，与直线

y=

2

相切，则圆C的圆心的轨迹为（

2

）

D.9B.8C.8.5

8

9

8.5

.

2

）

A.

抛物线

【答案】

A

【解析】

B.

双曲线

C.

椭圆

D.

圆

【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径

的

关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的

距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹

.

【详解】解：

设

C

的坐标为

(x,y)

，圆

C

的半径为

r

圆

x

2

(y3)

2

1

的圆心为

A

，

圆

C

与圆

x

2

(y3)

2

1

外切，与直线

y=

2

相切

CAr1

，

C

到直线

y=

2

的距离

dr

CAd1

，即动点

C

到定点

A

的距离等于到定直线

y=

3

的距离

由抛物线的定义知：

C

的轨迹为抛物线

.

故选：

A

6.在直三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

BCA90,D

1

,F

1

分别是

A

1

B

1

,A

1

C

1

的中点，

BCCACC

1

，则

BD

1

与

AF

1

所成角的余弦值是（

A.

）

1

2

30

10

B.C.

30

15

D.

15

10

【答案】

A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求直线

BD

1

与

AF

1

的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；



【详解】以点

C

为原点，以

CB,CA,CC

1

为

x,y,z

轴的正方向建立空间直角坐标系，

设

BCCACC

1

2

，则

A

0,2,0

，

A

1

0,2,2

，

B

2,0,0

，

B

1

2,0,2

，

D

1

1,1,2

，



C

1

0,0,2

，

F

1

0,1,2

，所以

BD

1

1,1,2

，

AF

1

0,1,2

，





AF

BD

1

1

2

2330

11

cos

AF

,

BD





所以，

11

10

6

530

AF

1

BD

1

故选：

A

.

7.当圆

C:x

2

y

2

6y30

的圆心到直线

l:mxym10

的距离最大时，

m

（

A.

）

1

4

B.4C.

1

4

D.－4

【答案】

C

【解析】

【分析】求出直线所过定点

A(1,1)

，根据

CA

与直线

l

垂直时，圆心到直线的距离最大，

k

AC

k

l



1

，求

解即可.

【详解】因为圆

C:x

2

y

2

6y30

的圆心为

C(0,3)

,半径

r23

，

又直线

l:mxym10

，化为

l:m(x1)y10

，

则直线

l

过定点

A(1,1)

，

故当

CA

与直线

l

垂直时，圆心到直线的距离最大，

此时有

k

AC

k

l



1



4

(

m

)



1

，

解得

m

故选：

C

.

8.已知

ABC

的顶点在抛物线

y

2

2x

上，若抛物线的焦点

F

恰好是

ABC

的重心，则

|FA||FB||FC|

的值为（

A.3

【答案】

A

【解析】

）

B.4C.5D.6

1

.

4

1

F

【分析】易知焦点坐标

,0

，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知

2

|

FA

|

|

FB

|

|

FC

|

3

x

F

3

3

.

2

【详解】设

A

x

1

,y

1

,B

x

2

,y

2

,C

x

3

,y

3

，

抛物线

y

2

2x

，则

F

(,0)

，

焦点

F

恰好是

ABC

的重心，

1

2

13

，

22

1113

故

FAFBFC

(

x

1

)

(

x

2

)

(

x

3

)

x

1

x

2

x

3



3

．

2222

则

x

1

x

2

x

3

3

故选：

A

．

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知

a,b,c

是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（



A.

ab,c,abc

C.

a,ab,c

）

B.

a,2b,3c

D.

2abc,ab,ac









【答案】

BC

【解析】

【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断

.



【详解】对于选项

A

：因为

abcabc

，





所以

ab,c,abc

三个向量共面，

故不能构成空间的一个基底，故

A

错误；





对于选项

D

：因为

2abcab

ac

，







所以

2abc,ab,ac

三个向量共面，

故不能构成空间的一个基底，故

D

错误；

因为

a,b,c

是空间中不共面的三个向量，

r

rr

对于选项B：设

a

x

2

b

y

3

c

，显然不存在实数

x,y

使得该式成立，



所以

a,2b,3c

不共面，可以作为基底向量，故B正确；

r

r

rrr

rr

对于选项C：设

a

xa

b

y

3

c

xa

xb

3

y

c

，



x

1

则

x

0

，方程无解，即不存在实数

x,y

使得该式成立，

3

y

0



所以

a,ab,c

不共面，可以作为基底向量，故C正确；

故选：BC

.

2

10.直线

l

与圆

x2

y

2

2

相切，且

l

在

x

轴、

y

轴上的截距相等，则直线

l

的方程可能是（

A.

xy0

【答案】

ACD

【解析】

B.

xy220

C.

xy0

D.

xy40

）

【分析】首先得到圆心坐标与半径，分直线

l

过坐标原点和不过坐标原点两种情况讨论，设出直线方程，利

用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解

.

【详解】圆

x2

y

2

2

的圆心坐标为

2,0

，半径

r

2

2

，

依题意直线

l

的斜率存在，

若直线

l

过坐标原点，设直线

l

为

ykx

，即

kx-y=0

，则

d

1

2

k

k

1

2

2

2

，解得

k1

，

所以直线

l

的方程为

xy0

或

xy0

；

若直线

l

不过坐标原点，设直线

l

为

xym

（

m0

），即

xym0

，

则

d

2

2

m

2

2

，解得

m0

（舍去）或

m4

，

所以直线

l

的方程为

xy40

，

综上可得直线

l

的方程为

xy0

或

xy0

或

xy40

.

故选：

ACD

11.对于一个古典概型的样本空间

Ω

和事件

A,B

，若

P

AB

A.事件

A

与事件

B

互斥

C.事件

A

与事件

B

相互独立

【答案】

BCD

【解析】

【分析】根据已知条件计算

P

A

，判断B选项，再根据

P

AB

P

A

P

B

判断C选项，通过

122

,

P

AB

,

P

B

，则（

633

1

B.

P

A

2

1

D.

P

AB

3

）

P(AB)P(A)P(B)

计算D选项，通过

P

AB

0

判断C选项.

2

1

，

P

AB

，

6

3

5

2

11

所以

P

A

P

B

，又

P

(

B

)

1

P

(

B

)

，则

P

(

B

)

，所以

P

A

，B正确；

32

3

6

1

因为

P

AB

P

A

P

B

，所以事件

A

与事件

B

相互独立，C正确；

6

121

所以

P

(

AB

)

P

(

A

)

P

(

B

)



，D正确；

233

【详解】因为

P

AB

P

A

P

B

P

AB

，

P

AB

因为

P

AB

0

，所以事件

A

与事件

B

不是互斥事件，A错误.

故选：

BCD

12.已知抛物线

C:y

2

4x

，

O

为坐标原点，点

P

为直线

x2

上一点，过点

P

作抛物线

C

的两条切线，

切点分别为

A

，

B

，则（）

B.

直线

AB

一定过抛物线的焦点

A.

抛物线的准线方程为

x=

1

C.线段

AB

长的最小值为

42

【答案】

ACD

【解析】

D.

OP

AB

【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断

A

、

B

、

D

；联立直线

与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断

C.

【详解】由抛物线

C:y

2

4x

可知，焦点坐标为

F(1,0)

，准线方程为

x=

1

，故选项A正确；

设

P(2,m)

，显然直线

PA

存在斜率且不为零，设为

k

1

，方程为

ymk

1

(x2)

，

y

2

4

x

2

与抛物线方程联立

，得

k

1

y4y8k

1

4m0

，

y

m

k

1

(

x

2)

因为

PA

是该抛物线的切线，所以

Δ

4

4k

1

(8k

1

4m)0

，即

2k

1

k

1

m10

，

且

A

的纵坐标为：

2

2

421

，代入抛物线方程中可得

A

的横坐标为：

2

，

2k

1

k

1

k

1

设直线

PA

存在斜率且不为零，设为

k

2

，

同理可得：

2k

2

k

2

m10

，且

B

的纵坐标为：

2

421

，横坐标为

2

，

2k

2

k

2

k

2

m

1

,

k

1

k

2



，

22

显然

k

1

、

k

2

是方程

2k

2

km10

的两个不等实根，所以

k

1

k

2



因为

k

AB

k

OP

22

1



2

kk

1

m

2

kk

mm

2



12



2



1

，

11

2

k

1

k

2

2

m

2



k

1

2

k

1

2

2

2

，

m

所以

OP

AB

，因此选项

D

正确；

由上可知：

AB

的斜率为

直线

AB

的方程为：

y

2

221

(x

2

)

，即

mk

1

2

y2mk

1

2k

1

2

x2

，

k

1

mk

1

2

又

2k

1

k

1

m10

，所以

k

1

m12k

1

，

2

所以

(k

1

2k

1

)y212k

1

2k

1

x2

，即

(12k

1

)y2k

1

(x2)

，

3

2

2

所以直线

AB

一定过

(2,0)

，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项

B

不正确，

由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为

xmy2

，

A

x

1

,y

1

，

B

x

2

,y

2

，

x

my

2

由

2

得

y

2

4my80

，所以

y

1

y

2

4m

，

y

1

y

2

8

，

y

4

x

所以

AB

4

y

1

m

2

1

y

2

4y

1

y

2

2

2

16m

1

m



22

32

3

1

4

m

3

m

2

4

m

2



42

，当且仅当

m0

时等号成立，故选项C正确；

2

4

2

故选：

ACD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线

3x4y50

与圆

O:x

2

y

2

5

相交于

A,B

两点，则

AB

__________.

【答案】

4

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再用直线与圆相交的弦长公式即得

.

【详解】设圆心

O

到直线

3x4y50

的距离为

d

，因为

d

|

5

3

4

22

|

1

，所以

AB2(5)

2

1

2

4

.

故答案为：

4.

14.已知

F

1

，

F

2

为椭圆

E

的两个焦点，

B

为椭圆

E

短轴的一个顶点，直线

BF

2

与椭圆

E

的另一个交点为

P

．若

PF

1

BF

1

，则椭圆

E

的离心率为_____________．

【答案】

【解析】

1

5

5

##

5

5

4

2

【分析】设

PF

2

x

，根据勾股定理得到

xa

，确定

cos

BPF

1

，

△PF

1

F

2

中，根据余弦定理得到

3

5

a

2

5c

2

，得到离心率.

【详解】不妨取

B

为上顶点，如图所示：

则

BF

1

BF

2

a

，设

PF

2

x

，则

PF

1

2ax

，则

a

2

2ax

xa

，

22

4

a

4

2

3

，整理得到

xa

，

cos

BPF

1

5

3

a

5

3

416244

△PF

1

F

2

中，根据余弦定理：

4

c

2

a

2

a

2

2

aa

，

99335

整理得到

a

2

5c

2

，即

e

故答案为：

5

.

5

c

5

.

a

5

2

x

2

y

2

15.已知椭圆

2

2

1

a

b

0

的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，左顶点为A，离心率为

，经过

F

1

的

3

ab

直线与该椭圆相交于P，Q两点（其中点在P第一象限），且

AQ//PF

2

，若

△AF

1

Q

的周长为

圆的标准方程为

______

．

5

，则该椭

2

x

2

y

2

【答案】



1

95

【解析】

【分析】根据

AF

1

Q∽F

2

F

1

P

，求得

△AF

1

Q

的周长与

△F

2

F

1

P

的周长之比为

1:4

，得到

△F

2

F

1

P

的周长为

10，结合椭圆的定义，得到

2a2c10

，结合

a

【详解】由椭圆的离心率为

3

2

，可得

ac

3

2

3

c

，求得

a,b,c

的值，即可求解.

2

因为

AQ//PF

2

，所以

AF

1

Q∽F

2

F

1

P

，

AF

1

a

c

1



，因此

△AF

1

Q

的周长与

△F

2

F

1

P

的周长之比为

1:4

，

又因为

F

1

F

2

2

c

4

因为

△AF

1

Q

的周长为

5

，所以

△F

2

F

1

P

的周长为10，

2

由椭圆的定义，可得

2a2c10

，

结合

a

3

c

，解得

a3,c2

，于是

b

2

=a

2

-c

2

=5

，

2

x

2

y

2

故椭圆的标准方程为



1

．

95

x

2

y

2

故答案为：



1

．

95

16.已知抛物线

C

：

y

2

4x

的焦点为

F

，过点

F

且斜率为2的直线与抛物线

C

交于

A

，

B

两点（点

A

在

x

轴的上方），则

AF

BF

______．

【答案】

【解析】

3

5

2

【分析】求出直线

AB

的方程及点

A

，

B

的横坐标，再利用抛物线定义计算作答

.

【详解】抛物线

C

：

y

2

4x

的焦点为

F(1,0)

，准线方程为：

x=

1

，

y

2(

x

1)

3

5

y2(x1)

直线AB的方程为：，由

2

消去y并整理得：

x

2

3x10

，解得

x

1

，

y

4

x

2

x

2

3

5

，

2

3

53

5

，点B的横坐标

x

2

，

22

依题意，点A的横坐标

x

1

由抛物线定义得：

AF

BF

x

1

1

5

53

5



.

x

2

1

5

5

2

故答案为：

3

5

2

四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.

17.

长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，

2023

年

5

月该中学进行一次数