2024年3月27日发(作者：)

椭圆焦点三角形四心的轨迹

北京市日坛中学延静里校区 邱继勇 100025

对椭圆的焦点三角形的研究，是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者

综合运用能力的重要载体，是历年高考和高考复习的重要内容；同时，利用几何画板

绘制动态图形的功能，可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路，可以更好的体

现几何学的本质．

x

2

y

2

下面介绍利用几何画板，研究椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形四心轨迹的

ab

过程．

x

2

y

2

一、椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形内心的轨迹及其方程：

ab

利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．

xacos

⒈ 利用参数方程，绘制椭圆

C

：

．

ybsin

⒉ 绘制点

P(acos

,bsin

)

，并且作出焦点三角形

F

1

PF

2

，如图（1）．

⒊ 作出∠

F

1

PF

2

和∠

PF

1

F

2

角平分线，设交点为I，如图（2）．

⒋ 使点P在椭圆上运动，观察点I的运动轨迹，如图（3）．

图（1） 图（2） 图（3）

⒌ 下面求它的轨迹方程：

解：如图（4），设点P

x

0

,y

0

，内心

I

为

(x,y)

，焦点

F

1

(c,0)、F

2

(c,0)

，

PF

1

r

1

，

PF

2

r

2

，则

r

1

r

2

2ex

0

．

过内心I作

ID、IE、IF

垂直

F

1

F

2

、F

1

P、PF

2

于点

D、E、F

．

∵ 点I是△

F

1

F

2

P

的内心，点

D、E、F

是内切圆的切点， 图（4）

1

PEF

1

Er

1

∴ 由切线长定理，得方程组：

PFF

2

Fr

2

，

FDFD2c

2

1

结合

r

1

r

2

2ex

0

，解得：

F

1

Dcex

0

．

而

F

1

Dcx

， ∴

xex

0

，既

x

0

又∵ △

F

1

F

2

P

面积

Scy

0

，

S

∴

cy

0

(ac)y

，既

y

0

=

x

．………………………………①

e

1

(F

1

F

2

PF

1

PF

F

)y(ac)y

，

2

ac

y

．………………………… ……………②

c

22

x

0

y

0

x

2

y

2

将①②代入

2

2

1(ab0)

，得

2

1

．

ab

cb

2

c

2

(ac)

2

x

2

y

2

可知，椭圆

2

2

1(ab0)

焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率

ab

是

2e

．

1e

x

2

y

2

二、椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形重心的轨迹及其方程：

ab

x

2

y

2

椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形重心的轨迹仍

ab

x

2

y

2

是一个椭圆，如图（5），它的离心率与

2

2

1(ab0)

的离

ab

9x

2

9y

2

心率相同，方程为

2

2

1(ab0)

．解法略去． 图（5）

ab

x

2

y

2

三、椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形垂心的轨迹及其方程：

ab

我们还是利用几何画板，先画出它的轨迹，再求

它的方程．如图(6)．

它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗？我

们通过它的方程来回答这个问题．

图(6)

2

解：如图（7），设点P

(x

0

,y

0

)

，垂心

H

为

(x,y)

，

焦点

F

1

(c,0)、F

2

(c,0)

，则

F

1

H(xc,y)

，

PF

2

(cx

0

,y

0

)

．

∵

F

1

H

⊥

PF

2

，

∴

(xc,y)

g(cx

0

,y

0

)

=0． 图（7）

又 ∵

xx

0

，

∴

c

2

x

2

yy

0

0

．……………………………………..①

22

x

0

y

0

而

2

2

1(ab0)

，

ab

b

2

2

b

2

22

∴

y

2

(ax

0

)

2

(ax

2

)

……………………….②

aa

2

0

将②式代入①式，整理得：

y

a(c

2

x

2

)

bax

22

．

由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函

数图象有关？请大家思考．

x

2

y

2

四、椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形的外心的轨迹及其方程

ab

x

2

y

2

由于

y

轴是椭圆

2

2

1(ab0)

焦点三角形的一条边的中垂线，所以，可以

ab

判断出外心的轨迹是

y

轴或

y

轴的一部分，利用几何画

板画出的轨迹图形可以说明这一点，如图（8）．

下面求焦点三角形外心W的运动范围．

解：设点P

acos

,bsin

，外心

W

为

(0,y)

，焦点

F

1

(c,0)、F

2

(c,0)

．

由

WPWF

2

，得：

c

2

y

2

(acos

)

2

(ybsin

)

2

． 图（8）

22

bc

bcsin

|y|

整理，得：

y

（）．

2b

2sin

2b

2

3

x

2

y

2

可知，椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形的外心的轨迹或者是

y

轴，或者是

y

ab

轴上的两条射线．

x

2

y

2

从上面求椭圆：

2

2

1(ab0)

焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来

ab

看，比较充分的体现了“利用方程研究图形”的解析几何基本内容；显示了几何画板

在研究几何问题中，直观、生动、引发思考的巨大作用．事实上，通过对课件的观察，

我们还可以得到更多的、开放性的问题，如欧拉线的问题等，这里不在讨论，请读者

通过链接的课件的自己研究．

焦点三角形的四心.gsp

操作步骤： （以内心轨迹形成为例）

⒈ 点击

内心

出现三角形的角平分线和内心“ I”

⒉ 点击

⒊ 再点击

⒋ 再点击

内心

运动 对象

运动 对象

出现点P运动，并角平分线交点“I”形成内心轨迹．

停止运动，可以观察图形性质．

角平分线及交点“I”隐藏．

4