2024年5月3日发(作者：)

第 6 章 自由空间中的电磁波 ◇ 波动无界空间中方程解之一——均匀平面波。 ◇

该电磁波在无界空间理想介质中的传播特点和各项 参数的物理意义。 ◇ 电磁波极

化的概念。 实际空间充满了各种不同电磁特性的介质。电磁波在不同介质中传播表

现出不同的特性。人们正是通过这些不同的特性获取介质或目标性质性的理论依据。

因此电波传播是无线通信、遥感、目标定位和环境监测的基础。 1. 散度的概念 2. 旋

度的概念 3. 梯度的概念 1. 麦克斯韦方程及内涵 2. 坡印廷矢量及内涵 3. 时谐场

的概念 主要内容回顾 自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。 这并

不是说在整个空间中没有源存在而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源这个区域

应有0和 0。 J 0D/EBt0B/HDt 自由空间中存在着电波 波和磁波 波 BE表明变化

的电场产生变化的磁场变化的磁场产生变化的电场二者相互依存。 λ波长 观看

波形图 两边取旋度 6.1 波动方程 考虑均匀无耗媒质的无源区域

000J00ttEHHEBDtEH2tEEH得 2220tEE电场E的波动方程 2220tHH磁场H的波动方

程 得 2EEE将矢量恒等式式中 2为拉普拉斯算符在直角坐标系中 2222222xyz而

波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程

222222220xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt?? 波动

方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 ?? 电磁波的传播问题归结为在给

定边界条件和初始条件下求解波动方程。 复数形式的波动方程——亥姆霍兹方程

设为时谐场 22222ReRejtjtmmeettEEE得 220kEE220kHH亥姆霍兹方程 式中

22k· 用复数形式研究时谐场称为频域问题。 6.2 理想介质中的均匀平面波 · 平面

波——等相位面为平面 · 均匀平面波——平面等相位面上场强大小、方向、相位

处处相等的平面波。 · 均匀平面波是一种理想情况。 在正弦稳态下均匀各向同

性理想介质中的无源区域内亥姆霍兹方程

222222222222222222222220000xxxxyyyyzzzzEEEkExyzEEEkkExyzEEEkExyzEE设

电场平行于x轴且只是z的函数即 xxEzEe得 2220xxEkEz其解 jkzjkzxmmEEeEe

讨论 mmEE1由边界条件决定。 RecosjkzjtxmmEztEeeEtkz均匀平面波的瞬时

表示 将第一项写为瞬时值形式 3 传播特性 沿z方向传播的波 沿-z方向传播

的波 jkzjkzxmmEEeEe2 0 xE2t采用时间观察方式将注意力集中到空间的一

个固定点上比如 取z0特定点则 cosxmEztEt是时间的周期函数。 波形每隔 重

复一次因此定义时间周期 2m2Ts每一秒种时间波形变化的周期数即是频率

12fTHz2f——波的角频率。表示单位时间波的相位的变化量 取t0特定时间则

cosxmEztEkz 是空间的周期函数。 0 xE2kz采用空间观察方式可以令 。 0t2k1/m

波形每隔 重复一次因此定义空间周期又称作波长 2m每 空间距离波形变化的

周期数即是波数 22km 由均匀平面波的表示式 可知它的时空特性分别依赖于角

频率 和波数 。 cosxmEztEtkzk 0t4t2t z Ex 0 图 6.2.1不同时刻 的波形 xE这是一

个沿z方向匀速前进的正弦波 可看作固定于波形上的某一点在数学上该点对应

于 tkz常数此点以匀速沿z方向传播波的传播速度称为相速。由下式决定 dzvdtk

将 k相速 1vk自由空间 09701/3610410/FmHm8310/vcms得自由空间中电磁波的速

度 对于 它表示以相同速度v沿-z方向传播的正弦波。 jkzxmEEe4 平面

波电场和磁场的关系 与E相伴的磁场H 可由 jEH 求得

00xyzxxyyzzxjHHHxyzEeeeEeee得 1xyEHjz将 jkzxmEEejkzmkEe将

k1jkzmxEeE0xzHH用矢量表示 11jkzjkzymymzEeEeHeeeE1zHeE其瞬时值形式

1cosyxEtkzHe式中 ——媒质的本征阻抗 自由空间 000120377z E H 图6.2.2 在理

想介质中由于 所以有 1HE221122EH均匀平面波的电场能量密度等于磁场能

量密度。 则电磁能量密度 22221122emEHEH瞬时坡印廷矢量 211zzeeSEHEEE

平均坡印廷矢量 211Re22avzeSEHE由以上的讨论对理想介质中的均匀平面波的

传播特性 ● 电场与磁场的振幅相差一个因子 ● 电场和磁场在空间相互垂直且都

垂直于传播方向。E、H、n波的传播方向呈右手螺旋关系。电磁波是横波。 ● 电

场、磁场的时空变化关系相同。 ● 电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减。 例

5.1.1 频率为100MHz的余弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿Z方向传播

介质的特性参数为 。设电场沿x方向即 当t0z1/8 m时电场等于其振幅值 。

试求 1电场和磁场的瞬时表达式2波的传播速度3平均坡印廷矢

量。 410rrxxEEe410/Vm解 1以余弦形式写出电场强度表示式

cosxxxmxEztEztEtkzEee410/mEVm82210/frads4/3kradm由条件t0z1/8 m时电场等于

其振幅值。 得 1xExEkkrad48410cos210/36xzttzVmEe则

4811104cos210/6036zyxyztztEtzAmHeEee2 波的传播速度

8800113101.510/24vms3 平均坡印廷矢量

1Re2avSEH443610jzxeEe44361060jzyeHe得

444842363611010Re10/260120jzjzavxyzeeWmSeee图6.2.1 直线极化的平面波 x y 6.2

电磁波的极化 · 波的极化电场强度E 矢量末端随时间变化的轨迹。 合成后

2222cosxyxmymEEEEEttanyymxxmEEconstEE12coscosxxmyymEEtEEt一般情况下

沿z方向传播的均匀平面波Ex和Ey分量都存在且其振幅和相位不一定相等。

1 直线极化 12coscosxxmyymEEtkzEEtkz取z0 若Ex和Ey的相位相同或相差 

则合成波为直线极化波。 120取 coscosxxmyymEEtEEt合成波电场大小随时间变化

但矢端轨迹与x轴夹角不变。 图6.2.2 圆极化的平面波 x y x y 若 和 振幅相同

相位差90°。则合成波为圆极化波。 xEyE22xyEEECtantanyxEtE合成后 2 圆极

化 12090oxmymmEEE令 cossinxmymEEtEEt得 即 t合成波电场大小不变但矢端

轨迹与x轴夹角随时间变化。 若以右手的四指随E的矢端运动则姆指就指出了波

的传播方向故 图6.2.2 表示的圆极化波称为右旋圆极化波。显然 得到左旋圆极

化波。 12900o3 椭圆极化 若 和 振幅、相位都不相同。则合成波为椭圆极化

波。 xEyE120令 coscosxxmyymEEtEEt得 上式中消去t得

222222cossinyxyxxmymxmymEEEEEEEE可以证明椭圆的长轴与 轴的夹角为

x222costan2xmymxmymEEEE椭圆极化与圆极化类同分右旋极化和左旋极

化。 · 当 时 椭圆极化 → 圆极化。 mzmymEEE90· 当 时 0椭圆极化 → 直

线极化。 若 E 的变化轨迹在 轴上 称为 轴取向的线极化波。 x0x 若 E 的变

化轨迹在 轴上 称为 轴取向的线极化波。 y90y图6.2.3 椭圆极化的平面波 x y

图6.2.4 椭圆、圆与直线极化的关系 7.1 均匀平面波在导电媒质中的传播 无源导电

媒质中的麦氏第一方程 jjjHEEE引入等效介电系数 cj得无源导电媒质中的麦氏方

程 00cjjHEEHHEcc于是用前面理想介质中相同的方法讨论导电媒质中的均匀平

面波。 · 导电媒质中的亥姆霍兹方程 222200cckkEEHH· 定义传播常数 ccjkjj式中

是一复数称为复波数 cck2211211200jjHEEHHE无源无耗媒质中的麦氏方程

波动方程变为 222200EEHHxxEzEe设 2220xxEEz其解为 zzjzxmmEEeEe即

zjzxxxmEEeEee相伴的磁场 111zzjzjzymymcccEeEeeeHeEee式中 /1jcccje称为导电

媒质的本征阻抗。是一复数。 电场和磁场的 瞬时表示

RecosjtzxxxmztEeEetzEeeRecosjtzmyyycEztHeetzHee可见 · 电磁场的振幅随z的增大

呈指数减小。 表示单位距离的衰减程度称为衰减系数单位是Np/m。 · 导电媒

质中的均匀平面波的电场和磁场在空间仍然相互垂直且均垂直于传播方向但在时

间上存在相位差。 · 表示单位距离落后的相位称为相位系数单位是rad/m。 · 由

式可知 与 之间有一复杂的关系则 与频率有关这种现象称为色散效应。 vvz

Hy Ex 图7.1.1 导电媒质中平面波的电场和磁场 两种常见情况 1弱导电媒质

媒质参数满足 称为弱导电媒质此时 1112cckjj12cjkjjj2衰减系数 相位系数 本

征阻抗 1/21112ccjj· 电磁场的振幅随z的增大呈指数衰减。 02· 色散效应可以不考

虑。 1v· 电场和磁场在时间上的相位差可以不考虑。 c2强导电媒质 媒质参数

满足 称为强导电媒质此时 11/2112cckjjj12cjkjff衰减系数 相位系数 1/211cjfjj

本征阻抗 · 电磁场的振幅随z的增大呈指数衰减。 0f· 与频率有关存在色散效应。

fvv· 电场和磁场在时间上存在 的相位差。 1cfj45o 例 7.1.1 海水的特性参数为 。

已知频率为f100Hz的均匀平面波在海水中沿z轴方向传播设 其振幅为1V/m。

1求衰减系数、相位系数、本征阻抗、相速度和波长2写出电场和磁场的

瞬时表达式。 00814/SmxxEEe解对于导电媒质首先判断 的取值范围再决定

使用的公式 弱导电媒质 2c强导电媒质 1cfffj11以上两种情况都不满足 一般导电

媒质 本例 9604436108.8911可见此时海水可视为强导电媒质 1

7210041043.9710/fNpm23.9710/fradm114.04104jcfjje4221001.5810/3.97

10vms22221.58103.9710m2设电场的初相位为零故

23.97102cos1cos21003.9710/zxmxxtEetzetzVmEee233.97102cos10cos21003.9710/14.0

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