2024年5月1日发(作者：)

方法点一 画双层树状图解搭配、组合问题

例1 食堂午餐食谱如下，一菜一饭可以有多少种不同的搭配？

2种主食：米饭、馒头

3种副食：白菜、豆腐、芹菜

方法指导

先从主食中任选一种，再分别与3种副食搭配，画出树状图，枚举出所有

可能的组合。

由上图可知，米饭与不同副食的搭配有3种，馒头与不同副食的搭配也有

3种，一饭一菜可以有6种不同的搭配。

正确解答

2种主食与3种副食，一菜一饭可以有6种不同的搭配。

总结：用树状图可以直观、清晰地呈现出所有可能的情况，避免重复或

遗漏。

例2 科学课上，老师把4名同学分到了一个小组开展实验，这4名同学

要彼此拍一次手，表示相互鼓励。4名同学一共要拍手多少次？

方法指导

分别用A、B、C、D表示这4名同学，由于自己不能与自己拍手，所以A

只能与B、C、D组合，B只能与A、C、D组合，C只能与A、B、D组合，D只

能与A、B、C组合（如图一所示），将所有可能的情况列出来，形成完整的

树状图（如图二所示）。

上图中共有12种排列方式，但有重复出现的，如（A，B）与（B，A）都

表示A、B两人拍一次手，要去掉其中的一个。把重复的筛选下去，则剩下（A，

B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D）6种不同的组合。

正确解答

4名同学一共要拍手6次。

提示：画树状图解组合问题时，不用区分先后顺序，要把重复的搭配筛

选掉。

方法点二 画双层树状图解可能性问题

例3 小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起

床没看清就随便穿了两只。小明正好穿的是同一双袜子的可能性是多少？

方法指导

假设这两双袜子分别为A双和B双，则这四只袜子可分别表示为A1、A2、

B1、B2。小明穿上的第一只袜子可能是4只中的任意一只（如图一所示），

在穿第二只时，则可能是剩下三只中的任意一只（如图二所示）。

两次组合的结果只有（A1，A2）或（B1，B2）组合时才能是同一双袜子。

由上面的树状图可知，两双袜子在一起的组合共有12种，其中有4种情况是

同一双袜子。

正确解答

小明正好穿的是同一双袜子的可能性是，也就是。

提示：画第二层时要分别与第一层中可能出现的情况一一组合，形成树

状结构。

例4 骰子的六个面上分别标有1到6的点数，随机掷两枚骰子，则这两

枚骰子向上一面的点数都是奇数的可能性是多少？

方法指导

第一枚骰子向上一面的点数可能是1，2，3，4，5，6，所以第一层应画6

个分叉；第二枚骰子向上一面的点数可能是6个中任意一个，所以第二层应

接在第一层的6个分叉上，再画6个分叉。画出的树状图上共有6×6种情况，

从中找出两个骰子向上一面的点数都是奇数的情况，再求出可能性。

从图中可以看出，两枚骰子向上一面的点数共有36种情况，其中向上一

面的点数都是奇数的情况有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，

3），（3，5），（5，1）（5，3）（5，5）共9种情况。

正确解答

这两枚骰子向上一面的点数都是奇数的可能性是，也就是。

提示：画树状图的关键：一是确定层数，二是确定每层分叉的个数。

方法点三 画多层树状图解稍复杂的可能性问题

例5 同时掷三枚硬币，求下列事件发生的可能性。

（1）三枚硬币全部正面朝上。

（2）两枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。

（3）至少有两枚硬币正面朝上。

方法指导

第①枚硬币可能是正面或反面朝上，所以树状图的第一层应画2个分叉

（如图一）；第②枚硬币也有两种可能，与前一枚硬币组合后，有4种可能

的结果，所以树状图的第二层要画4个分叉（如图二）；以此类推，树状图

的第三层要画8个分叉（如图三）。

由上图可知，同时掷三枚硬币可能出现的结果有8种，三枚硬币全部正面

朝上的结果有1种；两枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的结果有3种；

至少有两枚硬币正面朝上的结果有4种。

正确解答

（1）三枚硬币全部正面朝上的可能性为。

（2）两枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的可能性为。

（3）至少有两枚硬币正面朝上的可能性为，即。

提示：利用树状图可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结

果，从而较方便地求出某些事件发生的可能性。

例6 如下图所示，甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母A、

B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别标有字母C、D、E；丙口袋中装

有2个相同的小球,它们分别标有字母H、I，从3个口袋中各随机取出1个小

球。

（1）取出的3个小球中，恰好都标有元音字母的可能性是多少？

（2）取出的3个小球中，全是辅音字母的可能性是多少?

方法指导

从甲、乙、丙3个口袋中各随机取出一个小球进行组合，可按下面的步骤

进行：先从甲口袋中任取一球，有2种可能（如图一）；再从乙口袋中任取

一球，有3种可能，与甲口袋组合后则有（3×2）种可能（如图二）；最后

从丙口袋中任取一球，有2种可能，与前面的进行组合，此时共有（3×2×2）

种可能（如图三）。

从树状图中可以看出,所有可能出现的结果有12种,这些结果出现的可能

性相等,其中只有1个结果全是元音字母（AEI），有2个结果全是辅音字母

（BCH、BDH）。

正确解答

（1）取出的3个小球中，恰好都标有元音字母的可能性是。

（2）取出的3个小球中，全是辅音字母的可能性是，即。

提示：当一次试验要涉及3个或更多个事件时,为了不重、不漏地列出所

有可能的结果,通常采用画树状图法。