2024年6月12日发(作者：)

Ｙｉ　

一

Ｔ

通ｏｎｇ百Ｂａｉ　Ｔ通ｏｎｇ　

通百通　

’　数擎　

・数学　

＿

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体　

现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．数形结合的思想，其实质是将抽象的　

数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几　

何化，几何问题代数化．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．女口：锐角三角函数的定　

义是借助于直角三角形来定义的．下面我们就网格线中锐角三角函数的问题来体会这种数学思　

想方法．　

网格线中的三角函数问题　

韩成云　

：　

一

　：

、

运用定义，以形助数　

Ｄ：　

：　　：

：　Ｄ：　

一

些问题中的代数式，如方程或不等式．　

／　　！

图３　

，

若以图形的形式直观地给出，问题的结果便可　

一

＼　

图４　

目了然．　

例１　已知ｔａｎａ＝　１

ｔａ　＝　

１

，

求证：ｄ　＝　

【方法探究１】如图４，ＬＡＰＤ不在直角三角　

形中，无法根据对边和邻边的比值来求它的正　

切值，借助网格线，连接ＢＥ，就可以构造直　

４Ｓ０　

。　

／　

．、　

角三角形求解，由题意易得ＢＦ＝ＣＦ，ＡＡＣＰ￣　

、　

－＂＇

－－

４　

＼　

＂－

－－

．

３　

ａＢＤＰ，然后由相似三角形的对应边成比例．　

易得ＤＰ：ＣＰ＝１：３，即可得ＰＦ：ＣＦ＝ＰＦ：ＢＦ＝１：２，　

在Ｒｔ　ＡＰＢＦ中，即可求得ｔａｎ／ＢＰＦ的值．　

图１　图２　

【过程展示１】如图４，连接ＢＥ，’．‘网边形　

ＢＣＥＤ是正方形　．ＤＦ＝ＣＦ＝　１　ＣＤ，ＢＦ＝　１　ＢＥ，　

【方法探究】根据正切函数的意义，不难构　

造出满足条件的角Ｏ／、　（如图１），怎样构造这　

两个角的和是解决这个问题的关键．将图１中　

下面的图翻转到上图的下面，就形成了图２的　

图形，角　也就构成了．　

ＣＤ＝ＢＥ，ＢＥ上ＣＤ　．ＢＦ＝ＣＦ，根据题意得：　

ＡＣ￣ＢＤ，．・．ＡＡＣＰ＇￣ＡＢＤＰ，．・．ＤＰ：ＣＰ＝ＢＤ：ＡＣ＝　

１：３，．・．ＤＰ：ＤＦ＝１：２，．・．Ｄ尸＝ＰＦ＝　１　ＣＦ＝１ＢＦ

，　

【过程展示】如图２，连接ＢＣ，易证：ＡＡＢＤ　

△ＣＢＥ，从而ＡＡＢＣ是等腰直角三角形，于　

是：０￣＋／３＝４５。．　

在ＲｔａＰＢＦ中，ｔａｎＡＢＰＦ＝面ＢＦ＝２

，

’’

．

ＺＡＰＤ＝　

ＢＰＦ．．‘．ｔａｎ／＿＿ＡＰＤ－２．　

例２如图３，在边长相同的小正方形网　

格中，点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ都在这些小正方形的顶　

点上，ＡＢ、ＣＤ相交于点Ｐ，则ｔａｎＺＡＰＤ的值为　

（　）．　

Ａ．１　Ｂ．２　Ｃ＿３　Ｄ．　

故选：Ｂ．　

【方法探究２１Ｐ点不在网格线的格点上，　

无法发挥网格线的作用，可以将／＿ＡＰＤ转化为　

一

个顶点在格点上的角，利用网格线构造平　

行，转化得到相等的角．通过勾股定理数形结　

。　

一

Ｙ　Ｔｉｏｎｇ　Ｂａｉ　Ｔｏｎｇ　

通百通　

合进而求出线段的长　

．

９　

一　

‘　ｎ　肚　ＡＤ　去　．　

５　

【过程展示２】如图５，连接ＢＥ，ＡＥ．　

‘‘

．

ＤＥ／／ＢＣ，ＤＥ＝ＢＣ，　

四边形ＤＥＢＣ是平行【兀『边形，　

ＤＣ＃ＢＥ，．‘．／＿ＡＢＥ＝ＬＡＰＤ．　

【方法探究２】利用勾股定理构造方程进　

而求出线段的长度是比较常用的“以数解形”　

的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起　

到了比较重要的作用．代数运算能力是学好数　

学的一个基本功，　

【过程展示２】如图７，由勾股定理易得　

ＡＢ　＝２９，ＡＣ　＝１７，ＢＣ＝２　．　

・

．．

’

．．

由勾股定理得ＢＥ＝　

ＡＢ＝　

・

．

・

，ＡＥ＝２　

设ＢＤ为　，ＣＤ为２　一　，由勾股定理得　

ＡＢ　－ＢＤ　＝ＡＤ　，ＡＣ　一ＣＤ　＝ＡＤ。，　

・

，　

．

．

ＡＢ　－ＢＤ。＝　Ｃ　一ＣＤ　．　

ＡＢ　＝ＢＥ　＋ＡＥ　．ＺＡＥＢ＝９０ｏ．　

－２．　

・

．

．

ｔａｎＺＡＰＤ＝ｔａｎＺＡＢＥ＝　

￣１］２９－ｘ２＝１７一（２　

．

．．

）ｚ　

．

，　

，　

ＡＤ２＝２９一Ｔ６４：　８１

，

ＡＤ：Ｔ９．３

．

二、运用方程。以数解形　

．

９　

几何图形中的问题转化为用代数的知识　

．

・

．

求解，这就是数形结合思想中的“以数解形”，　

ｓｉｎ　肚　ＡＤ　去　．　

在几何计算与证明中常常采用这种方法．　

例３如图６，方格纸中有三个格点　、　、　

Ｃ，求ｓｉｎＺＡＢＣ的值．　

【方法探究３】建立平面直角坐标系，利用　

坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以　

避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．　

在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐　

标将几何问题代数化．　

【方法探究１】ＺＡＢＣ不在直角三角形中，　

通过连接ＡＣ又不能得到直角，只有过点Ａ作　

垂直，利用等积法，通过面积途径将几何问题　

代数化，从而求出垂线段的长．　

Ａ　

【过程展示３】在原网格线基础上，再向右　

补一列，如图８，以０为坐标原点，ＯＣ所在直线　

为　轴，ＯＢ所在直线为　轴，建立平面直角坐标　

系，连接ＣＤ，并延长ＣＤ交　的延长线于点　．　

图６　图７　

【过程展示１】如图７，过点Ａ作ＡＤ３＿ＢＣ于　

点Ｄ，连接ＡＣ，　

・

’

．

ｓ　＝２０一圭×２×５一　１×２×４一吉×１×４＝９，　

Ｓ△　．＝　１￣ＢＣｘＡＤ＝９，　

图８　

借助网格线，易证ＡＢＯＣ￣ＡＣＦＤ，　

．　

’

．．

Ｃ０＝／ＣＤＦ．　

。

．

‘

・

．

．　２　２．Ｊ５ＡＤ－９＇解得：ＡＤ＝学，　

ＺＤＣＦ＋　ＣＤＦ＝９０。．　

‘

．．

ＬＤＣＦ４－　Ｃ０＝９０。．．‘．　ＣＤ＝９０。　

由图可知　（０，２），Ａ（５，４），Ｃ（４，０），Ｄ（６，　

【过程展示】图ｌ０中ＬＣＡＤ＝￣，ＬＢＡＤ＝ｔ￣，则　

／＿＿ＣＡＢ￣　，过点Ｂ作朋上ＡＣ于点Ｅ，　

・

・

．

４），可以求出直线ＡＢ的函数关系式为：ｙ＝　＋　

２，直线ＣＤ函数关系式为：ｙ＝２ｘ－８，将两个函数　

Ｓ￣ＡＢＣ＝　ＢＣ￣ＡＤ＝百１　ｘ２ｘ３＝３

，　

关系式联立成一个二元一次方程组，可求Ｅ点　

。　

．

坐标为（孕，　９），利用点ｃ、Ｂ、Ｅ的坐标，由勾　

．

・

．

股定理可求得　＝学，日庐　乒．　

ｉｎＺＡＢＣ＝　ＣＥ学÷　＝可９４ｉ－￣．　

・

．～

圭×ＢＥｘＡＣ＝３，　

圭×２－ｆ５ＢＥ＝３，　

３　

解得：ＢＥ：半，　

。

・

三、综合问题。数形互助　

．ｓｊｎ／＿ＣＡＢ＝　音　詈・　

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的　

例３　已知ｔａｎｏｔ＝　，ｔａｎ／３＝２，鄯一　的正　

弦值．　

量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是　

根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，　

【方法探究】如图９，借助网格构造　ｃＡＤ＝　

卢，ＬＢＡＤ＝ｃｔ，则　一　，通过等面积法、勾　

股定理或者建立平面直角坐标系，从而把代数　

问题几何化，求出／＿ＣＡＢ的正弦值．本题中数与　

形得到了完美的统一．　

既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数　

量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧　

妙、和谐地结合在一起．充分利用这种结合，寻　

找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而　

得到解决．　

Ｄ：Ｂ：　；　：　ｊｃ；　

Ｌ…Ｊ…一ｊ…一Ｌ…上…Ｊ…一Ｊ　

Ｄｉ　Ｂ；　；　；　；Ｃ　

Ｌ．一一Ｊ…一Ｊ．…Ｌ…一Ｌ…Ｊ…一　

图９　图１０　

１．ＡＡＢＣ在网格中的位置如右图所示（每个小正方形边长为１），　

ＡＤ上日Ｃ于Ｄ，下列选项中，错误的是（　

Ａ．ｓｉｎａ＝ｃｏｓｏｔ　Ｂ．ｔａｎＣ＝２　

）．　

Ｃ．ｓｉｎ　＝ｃｏｓｌｆ　

￣．ｒｊｓｉｎ／＿＿ＣＡＢ＝　

，

Ｄ．ｔａｎｃｔ＝Ｉ　

Ｌ—．—．—．Ｊ—．—．一一ｊ…一ｉ…一Ｌ…　Ｌ…—　

２．如下图，在２ｘ２正方形网格中，以格点为顶点的ＡＡＢＣ的面积等于　

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾初级中学）