2024年6月15日发(作者：)

竹子外形和截面性能的力学分析

选课序号100 姓名杨建成 学号2220133836

摘要：略 约200字

一 引言

在日常生活中，随处可见竹子，竹竿可视为上细下粗、横截面为空心圆形的杆件。

这样的形状赋予了竹子很强的抗弯强度。

二 力学分析

材料力学的任务是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，以最经济的代价为构件确

定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，为构件设计提供必要的理论基础的计算方法。

换句话说，材料力学是解决构件的安全与经济问题。所谓安全是指构件在外力作用下要

有足够的承载能力，即构件要满足强度、刚度和稳定性的要求。所谓经济是指节省材料，

节约资金，降低成本。当然构件安全是第一位的，降低经济成本是在构件安全的前提下

而言的。实际工程问题中，构件都应有足够的强度、刚度和稳定性。

本文以竹子为研究对象，其简化力学模型如下图所示。

竹子体轻，质地却非常坚硬，强度比较高， 竹子的顺纹抗拉强度170Pa，顺纹抗压强

度达80Pa 单位质量的抗拉强度大概是普通钢材的两倍。

根据材料力学，弯曲正应力是控制强度的主要因素，自然界的竹子经常受到来自风

的力，主要是弯矩,主要是弯曲正应力。

从公式可以看出，当弯矩一定的时候，正应力与惯性矩正反比。

截面为实心圆的对中性轴的惯性矩，大部分树木都是这种结构。

（假设实心和空心竹子的横截面）

2.1 竹子的弯曲强度分析

根据材料力学的弯曲强度理论, 弯曲正应力是控制强度的主要因素, 弯曲强度条件为

max

M

max

[

]

W

z

(1)

横截面如上图所示。实心圆截面和空心圆截面的抗弯截面模量分别为：

W

实

W

空

32

d

3

(2)

D

1

)

(3)

D

D

1

为空心杆

D

32

D

3

(1

4

) (

式中，d是实心杆横截面直径，D和D

1

分别是空心杆横截面外径和内径，

内外径之比。

当空心杆和实心杆的两横截面的面积相同时

4

d

2

=

4

(D

2

D

1

2

)

(4)

可得

d

2

=

(D

2

D

1

2

)

D

2

(

1

2

)

(5)

d

=1-

2

D

(6)

把上式代入式

(2)，得

1

34

D（1-

）

W

空

1

2

32

1

3

2

W

实

1

1-

D

3

(1-

2

)

2

32

(7)

空心圆截面的抗弯截面模量比等截面积的实心圆截面的抗弯截面模量大，并且空心

圆截面杆的内、外直径的比值α越大，其抗弯截面模量越大，杆的抗弯强度越高。因此，

空心杆比实心杆的抗弯强度高。例如当α=0.7时，空心杆是同样重量的实心杆的抗弯强度

的两倍，因为杆件横截面上的任意点处的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比。即

杆横截面上离中性轴越远，正应力越大，中性轴附近的正应力较小，这样中性轴附近材

料的性能未能充分发挥。为了充分利用材料，应尽可能地把材料置放在离中性轴较远的

地方。空心圆截面是将实心圆截面中性轴附近的集中材料移置到离中性轴距离较远处，

以提高其抗弯强度。

竹子上细下粗，是变截面杆件。同时竹子可看成是轴线铅垂的悬臂梁。下图为竹竿

的弯矩图。在外荷载作用下，沿杆自上而下各截面的弯矩越来越大，竹子底部所受的弯

矩最大，所以竹子下端比受小弯矩的上端粗。竹子上细下粗这一特征也是等强度杆的应

用。

2.2 电线杆的弯曲刚度分析

挠度和转角是弯曲变形的两个基本量，杆件抵抗弯曲变形的能力即为弯曲刚度。挠

度和转角与杆件横截面对中性轴的惯性矩成反比，即惯性矩越大，弯曲变形越小，弯曲

刚度越高。所以增大杆件横截面对中性轴的惯性矩，是提高弯曲刚度的有效措施之一。

实心圆截面和空心圆截面对其中性轴的惯性矩分别是:

I

实

I

空

64

d

4

(8)

64

D

4

(1

4

)

(9)

式中d、D、D

1

、α的含义同前面。

当空心杆和实心杆的截面积相等时，空心圆截面比实心圆截面对其中性轴的惯性矩

大，并且空心圆截面内外直径的比值α越大，其对中性轴的惯性矩越大，惯性矩越大，杆

的抗弯刚度越高。因此，空心杆比实心杆的抗弯刚度要好。

2.3 竹杆的稳定性分析

竹竿空心结构同时提高了其稳定性。对于细长杆，由临界压力的欧拉公式：

2

EI

P

cr

=

(10)

2

(

l)

可得截面的惯性矩越大，则临界压力越大，

对于中柔度杆，根据压杆临界应力的经验公式:

σ

cr

=a-bλ (11)

从上式可知，压杆的柔度λ越小临界应力越大。

l

i

(12)

可见，提高惯性半径i的数值就能减小λ的数值。

i

对于实心圆形截面

I

z

(13)

A

i

实心

I

z实心

A

d

4

64

d

(14)

d

2

4

4

对于空心圆形截面

i

空心

I

z空心

A

D

4

D

1

4

64

2

DD

1

2

4

D

2

D

1

2

(15)

4

如不增加截面面积，而把实心圆形截面改成空心圆形截面，就能取得比较大的I和i，

这就等于提高了临界压力（临界应力）。空心的环形截面与实心圆截面比较，若两者截

面面积相等，环形截面的惯性矩I和惯性半径i都比实心圆截面的大得多。因此，空心杆的

稳定性比实心杆的稳定性大得多。

三 结论

利用材料力学相关理论，从弯曲强度、弯曲刚度和稳定性三方面分析了竹竿的外形

和截面的合理性。竹竿这种上细下粗的中空结构不仅提高了弯曲强度、抗弯刚度和稳定

性，而且节约了资源，减轻了自重，根系从土壤长吸取的养分得到充分利用。对于工程

和生活中一些主要受弯曲的构件，可采用竹竿结构的理念对其结构和形状进行设计。

空心圆管的应用很多，比如旗杆，路灯杆，支撑杆，标枪都是空心圆管，飞机的机

翼形状很大程度也和竹子的结构有关，梯形的等强度杆儿，空心的构造。烟囱的形状如

果接近竹子的那种结构，会在相同强度的条件下节省很多材料，在这里就不做定量分析

了。

参考文献

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[4] 范钦珊, 蔡新, 郭占起, 工程力学[M]. 机械工业出版社, 2002.

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[6] 单辉祖. 工程力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

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